POJ 3604 Professor Ben(合数唯一分解,筛法素数表)
2014-08-01 13:18
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这题的大意就是 给出一个数n, 找到它所有的因子, 然后把这些(因子的因子数)的立方和求出来。
题目的时限虽然很宽,但是数据很BT。首先,公式必须找出来。
证明如下:
先将n质因数分解成形如n = a ^m * b ^ p * c ^q *........;
那么要求的结果为函数g(x)的值;
我们以n有2个质因数为例子;
g(n) = g(a ^m * b ^p ) ;
设求因子个数的立方的函数为f(x);
然后找到所有的因子并计算和;
g(a ^ m * b ^ p ) = f( a ^ m * b ^ p ) + f( a ^ (m - 1) * b ^ p ) + f( a ^ (m - 2) * b ^ p ) +...... + f (a ^ 0 * b ^ p) + f(a ^m * b ^ (p - 1)) + f(a ^(m - 1) * b ^ (p - 1)) ......+ f(a ^ 0 * b ^ (p - 1)) +...............+f(a ^ m * b ^ 0) + f(a ^
(m - 1) * b ^ 0) +.........f(a ^ 0 * b ^ 0); //// ①式
注意 这个序列里有 (m + 1) * ( n + 1 ) 个数, 所有的因子都表示出来了;
我们再观察f(x)的性质, 可以发现一个很重要的性质,如果 x, y互质,那么f( x * y ) = f(x) * f(y); 这个称为积性函数, 实际上自己观察规律就能找到这个性质;
我们再根据这个性质 就可以合并①式了;
g(a ^m * b ^p ) = (f(a ^m) + f(a ^ ( m - 1)) + f(a ^ (m - 2 ) ) + ..... + f(a ^ 0)) * (f(b ^p) + f(b ^ ( p - 1)) + f(b ^ (p - 2 ) ) + ..... + f(b ^ 0));
对于一个类似于x ^ y的因子数,答案是显而易见的 y + 1;
那么g(a ^m * b ^p ) = (1^3 + 2 ^ 3 + ..... + m ^ 3 + (m + 1)^ 3) * (1^3 + 2 ^ 3 + ..... + p ^ 3 + (p + 1)^ 3) ;
而立方和公式为 [(x * (x + 1)) / 2] ^ 2;
那么g(a ^m * b ^p ) = [((m + 2)* (m + 1)) / 2] ^ 2 * [((p + 2) * (p+ 1)) / 2] ^ 2;
g(n) 就求出来了。
我们可以得到一个普遍规律了
如果一个合数能被分解为 a ^ m * b ^ n * c ^ p *.............(a, b, c ......均为素数, m, n, p.....均为自然数)
那么题目要求的结果就是 [((m + 2)* (m + 1)) / 2] ^ 2 * [((n + 2) * (n+ 1)) / 2] ^ 2 * [((p + 2) * (p+ 1)) / 2] ^ 2 *.............
以上解释来自:http://blog.csdn.net/sdj222555/article/details/6704144
自己的代码。
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define N 5000001
#define bug(a) cout<<"--->"<<a<<endl
typedef long long ll;
int tot;
int pri
;
bool valid
;
int ispri
;
void getprime()
{
memset(valid,true,sizeof valid);
valid[1]=false;
for(int i=2;i<N;i++)
{
if(valid[i])
pri[++tot]=i;
for(int j=1;(j<=tot)&&(i*pri[j]<N);j++)
{
valid[i*pri[j]]=false;
if(i%pri[j]==0) break;
}
}
}
int main()
{
getprime();
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
int n;
int ans=1;
scanf("%d",&n);
if(valid
) ans=9;
else{
for(int i=1;(i<=tot)&&pri[i]<=(int)sqrt(n+0.5);i++) //n在不断减小,n>(pri[i])^2
if(n%pri[i]==0)
{
int time=0;
while(n%pri[i]==0)
{
time++;
n/=pri[i];
}
ans*=(time+1)*(time+2)*(time+1)*(time+2)/4;
}
if(n>1)
ans*=9; //注意这个地方。当 1<n<(pri[i])^2,则n此时是一个素数,N=.......n^1
//分解的最后一个数,而且只有一个[(1+1(1+2)/2 ]^2
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
题目的时限虽然很宽,但是数据很BT。首先,公式必须找出来。
证明如下:
先将n质因数分解成形如n = a ^m * b ^ p * c ^q *........;
那么要求的结果为函数g(x)的值;
我们以n有2个质因数为例子;
g(n) = g(a ^m * b ^p ) ;
设求因子个数的立方的函数为f(x);
然后找到所有的因子并计算和;
g(a ^ m * b ^ p ) = f( a ^ m * b ^ p ) + f( a ^ (m - 1) * b ^ p ) + f( a ^ (m - 2) * b ^ p ) +...... + f (a ^ 0 * b ^ p) + f(a ^m * b ^ (p - 1)) + f(a ^(m - 1) * b ^ (p - 1)) ......+ f(a ^ 0 * b ^ (p - 1)) +...............+f(a ^ m * b ^ 0) + f(a ^
(m - 1) * b ^ 0) +.........f(a ^ 0 * b ^ 0); //// ①式
注意 这个序列里有 (m + 1) * ( n + 1 ) 个数, 所有的因子都表示出来了;
我们再观察f(x)的性质, 可以发现一个很重要的性质,如果 x, y互质,那么f( x * y ) = f(x) * f(y); 这个称为积性函数, 实际上自己观察规律就能找到这个性质;
我们再根据这个性质 就可以合并①式了;
g(a ^m * b ^p ) = (f(a ^m) + f(a ^ ( m - 1)) + f(a ^ (m - 2 ) ) + ..... + f(a ^ 0)) * (f(b ^p) + f(b ^ ( p - 1)) + f(b ^ (p - 2 ) ) + ..... + f(b ^ 0));
对于一个类似于x ^ y的因子数,答案是显而易见的 y + 1;
那么g(a ^m * b ^p ) = (1^3 + 2 ^ 3 + ..... + m ^ 3 + (m + 1)^ 3) * (1^3 + 2 ^ 3 + ..... + p ^ 3 + (p + 1)^ 3) ;
而立方和公式为 [(x * (x + 1)) / 2] ^ 2;
那么g(a ^m * b ^p ) = [((m + 2)* (m + 1)) / 2] ^ 2 * [((p + 2) * (p+ 1)) / 2] ^ 2;
g(n) 就求出来了。
我们可以得到一个普遍规律了
如果一个合数能被分解为 a ^ m * b ^ n * c ^ p *.............(a, b, c ......均为素数, m, n, p.....均为自然数)
那么题目要求的结果就是 [((m + 2)* (m + 1)) / 2] ^ 2 * [((n + 2) * (n+ 1)) / 2] ^ 2 * [((p + 2) * (p+ 1)) / 2] ^ 2 *.............
以上解释来自:http://blog.csdn.net/sdj222555/article/details/6704144
自己的代码。
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define N 5000001
#define bug(a) cout<<"--->"<<a<<endl
typedef long long ll;
int tot;
int pri
;
bool valid
;
int ispri
;
void getprime()
{
memset(valid,true,sizeof valid);
valid[1]=false;
for(int i=2;i<N;i++)
{
if(valid[i])
pri[++tot]=i;
for(int j=1;(j<=tot)&&(i*pri[j]<N);j++)
{
valid[i*pri[j]]=false;
if(i%pri[j]==0) break;
}
}
}
int main()
{
getprime();
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
int n;
int ans=1;
scanf("%d",&n);
if(valid
) ans=9;
else{
for(int i=1;(i<=tot)&&pri[i]<=(int)sqrt(n+0.5);i++) //n在不断减小,n>(pri[i])^2
if(n%pri[i]==0)
{
int time=0;
while(n%pri[i]==0)
{
time++;
n/=pri[i];
}
ans*=(time+1)*(time+2)*(time+1)*(time+2)/4;
}
if(n>1)
ans*=9; //注意这个地方。当 1<n<(pri[i])^2,则n此时是一个素数,N=.......n^1
//分解的最后一个数,而且只有一个[(1+1(1+2)/2 ]^2
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
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