HDU 1395 2^x mod n = 1【数学】

2^x mod n = 1

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[align=left]Problem Description[/align]
Give a number n, find the minimum x(x>0) that satisfies 2^x mod n = 1.

[align=left]Input[/align]
One positive integer on each line, the value of n.

[align=left]Output[/align]
If the minimum x exists, print a line with 2^x mod n = 1.

Print 2^? mod n = 1 otherwise.

You should replace x and n with specific numbers.

[align=left]Sample Input[/align]

2
5

[align=left]Sample Output[/align]

2^? mod 2 = 1
2^4 mod 5 = 1

[align=left]Author[/align]
MA, Xiao

[align=left]Source[/align]
ZOJ Monthly, February 2003

解题思路：此题运用到了欧拉定理。同余定理。

欧拉定理：若a,n为正整数，且a,n互质，则 a^x≡1(mod n)

在这里道题里： 2^x mod n = 1 求2的x次方对n取余等于1

①当n==1时，2^x mod 1 ≡ 0，所以排除n==1的情况。

②当n==偶数时，2^x 与 n 不会互质，2^x mod n ≠ 1，2^x对n取余都不会等于1，所以排除n==偶数的情况。

③当n==奇数时，2^x与n互质，即存在一个x使得2^x mod n = 1

解决问题的关键在于如何找到x

我们可以列举，当n=3时， 2^2 mod 3 =1

当n=5时， 2^4 mod 5 =1

当n=7时， 2^3 mod 7 =1

我们可以直接暴力求2的x次方，直到2^x mod n = 1

y=1;
for(x=1;;x++)
{
y=y*2;
y=y%n;				//同余定理
if(y==1)
break;
}

通过一个将y初始化为1，通过一个for循环，

x初始化为1，每次循环表示2的x次方。

这里运用到了同余定理。

同余定理：(a*b)%c==((a%c)*(b%c))%c

y=y*2每一次都对n取余，与y^x 对n取余结果相等。

以n==5为例，2^4 mod 5==1,

2^4 mod 5 == ((2%5)*(2%5)*(2%5)*(2%5))%5

上式=(2^3 * 2) % 5 = ( 8 * 2 ) % 5 = ( (8%5) * (2%5) ) %5 = ( 3 * 2 )%5 = 6 % 5 =1

当x=1时，y=2^1=2， y%n =2%5=2

当x=2时，y=2*2=4，y%n =4%5=4

当x=3时，y=4*2=8，y%n =8%5=3

当x=4时，y=3*2=6，y%n =6%5=1

2^4==16，16%5==1 结果相等。

直到y==1，即余数等于1时，跳出循环，输出y的x次方。

AC码

#include<stdio.h>
int main()
{
int n,x,y;
while(scanf("%d",&n)==1)
{
if(n%2==0||n==1)
printf("2^? mod %d = 1\n",n);
else
{
y=1;
for(x=1;;x++)
{
y=y*2;
y=y%n;				//同余定理
if(y==1)
break;
}
printf("2^%d mod %d = 1\n",x,n);
}
}
return 0;
}