欧几里得及其扩展

摘要: 欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个正整数a，b的最大公约数。

欧几里得：

大意：

设gcd(a,b) 表示 a,b的最大公约数，一般程序里也用同名函数来计算最大公约数计算原理如下：（b不为0时 且a和b不相等的情况下）我们设gcd(a,b)=d， 再设a除以b的余数为r1 并且必有r1<b，那么必然有非负整数x0使得a=b*x0+r1等式成立 ，可变为r1=a-b*x0 ，那么r1必然也是d的倍数 这样就有a b r1的最大公约数为d，就是说， d=gcd(a,b)=gcd(b,r1) 其中 b>r1,如此我们再设b除以r1的余数为r2 ，并且必有r2<r1,那么必然有非负整数x1使得b=r1*x1+r2等式成立 可变为r2=b-r1*x1 , 那么r2必然也是d的倍数， 这样就有a b r1 r2的最大公约数为d ，就是说 d=gcd(a,b)=gcd(b,r1)=gcd(r1,r2) 其中 b>r1>r2，这样反复我们就会得出 d=gcd(a,b)=gcd(b,r1)=gcd(r1,r2)=……=gcd(rn-1,rn) ，其中 b>r1>r2>……>rn-1>rn=d，那么必然有非负整数xn-1使得rn-2=(rn-1*xn-1) +rn等式成立 可变为rn=rn-2 -(rn-1*xn-1)，然后我们发现rn-1除以rn其余数就为0 这就可以判断rn为最大公约数d，这就是欧几里德算法求最大公约数的算法了（上述算法当a=b的时候我们可知最大公约数就为其本身同样适用 同时我们规定当b=0的时候gcd(a,b)=a）。我们通过程序来求解就有:
int Gcd(int a, int b)
{
if(b == 0) return a;
return Gcd(b, a % b);
} 递归形式

例题：

求两个正整数的最大公约数。

Input
输入数据含有不多于50对的数据，每对数据由两个正整数(0 < n1,n2 < 232)组成。

Output
对于每组数据n1和n1，计算最大公约数，每个计算结果应占单独一行。

Sample Input
6 5 18 12
Sample Output
1
6

CODE：

#include <stdio.h>
int f(int m,int n)
{
int k;
k=m%n;
while(k!=0)
{
m=n;
n=k;
k=m%n;
}
return n;
}
int main()
{
int a,b,t,max;

for(; scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF;)
{
if(a<b)
{
t=a;
a=b;
b=t;
}
max=f(a,b);
printf("%d\n",max);
}
return 0;
}
欧几里得的扩展：

大意：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

例题：

青蛙的约会
Description
两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input
输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。
Output
输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"
Sample Input
1 2 3 4 5
Sample Output
4
code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define MAXN 10000
#define LL long long
using namespace std;
LL extended_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) //返回值为gcd(a,b)
{
LL ret,tmp;
if (b==0)
{
x=1,y=0;
return a;
}
ret=extended_gcd(b,a%b,x,y);
tmp=x;
x=y;
y=tmp-a/b*y;
return ret;
}
int main()
{
LL x,y,m,n,L;
while (scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&x,&y,&m,&n,&L)!=EOF)
{
LL a=m-n,b=L,c=y-x;
if (a<0) a=n-m,c=x-y;
LL re1,re2;
LL d=extended_gcd(a,b,re1,re2);
LL r1=c*re1/d;
LL r2=c*re2/d;
if (r1*d!=c*re1||r2*d!=c*re2) //c若不是gcd(a,b)的整数倍，则无解。
printf("Impossible\n");
else
{
r1=r1%(L/d);  //求最小正整数解
if (r1<0) r1+=L/d;
printf("%lld\n",r1);
}
}
return 0;
}