POJ 1840--Eqs
2014-07-28 14:40
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此题要求所有满足方程的整数非零解,若直接枚举是10^10。
很容易想到Hash,以空间换时间,将方程进行简要变换:a1x13+ a2x23
= -1*(a3x33+ a4x43+
a5x53)。
首先枚举左边方程的所有可能结果,以相乘之后和的值作为Hash的key映射到slot中,slot中存的数据为此结果的个数(不同的x1和x2可能有相同的结果)。
然后枚举方程右边的解,若在hash表中找到相同的值则结果加加。复杂度为O(10^6)。
对称优化:
首先为了节省乘法资源(FPGA的习惯,C里面作用不大),左右两边方程进行枚举时,变量都不需要直接枚举[-50,50]的空间,有3/4的立方运算都是多余的,如x1 = 5,x2 = 6;x1 = -5,x2 = 6;x1 = -5,x2 = -6,x1 = 5,x2 = -6的乘法我们都可以只计算5^3,6^3,再进过变换得来。所以每个变量枚举时只需要枚举[1,50]的区间,再经过变换得到其它三个值。
然后其实上面的变换有一半也是多余的,即是我们只需要计算(5,6)以及(5,-6),但要对上述方程左右两边取绝对值,方程的解得个数为由此计算结果的两倍。
证明:设X = (x1,x2),Y = (x3,x4,x5),若(X,Y)为原方程的解,则(X,Y)(X,-Y)(-X,Y)(-X,-Y)都为绝对值方程的解,且绝对值方程的解只能由原方程的解变换而来,所以绝对值方程的解是原方程解得两倍。但是通过程序计算的解中完全没有包含X,Y的相反数,也即是只包含了上面四个解中的一个,所以程序计算的解的个数是原方程解的个数的二分之一。
很容易想到Hash,以空间换时间,将方程进行简要变换:a1x13+ a2x23
= -1*(a3x33+ a4x43+
a5x53)。
首先枚举左边方程的所有可能结果,以相乘之后和的值作为Hash的key映射到slot中,slot中存的数据为此结果的个数(不同的x1和x2可能有相同的结果)。
然后枚举方程右边的解,若在hash表中找到相同的值则结果加加。复杂度为O(10^6)。
对称优化:
首先为了节省乘法资源(FPGA的习惯,C里面作用不大),左右两边方程进行枚举时,变量都不需要直接枚举[-50,50]的空间,有3/4的立方运算都是多余的,如x1 = 5,x2 = 6;x1 = -5,x2 = 6;x1 = -5,x2 = -6,x1 = 5,x2 = -6的乘法我们都可以只计算5^3,6^3,再进过变换得来。所以每个变量枚举时只需要枚举[1,50]的区间,再经过变换得到其它三个值。
然后其实上面的变换有一半也是多余的,即是我们只需要计算(5,6)以及(5,-6),但要对上述方程左右两边取绝对值,方程的解得个数为由此计算结果的两倍。
证明:设X = (x1,x2),Y = (x3,x4,x5),若(X,Y)为原方程的解,则(X,Y)(X,-Y)(-X,Y)(-X,-Y)都为绝对值方程的解,且绝对值方程的解只能由原方程的解变换而来,所以绝对值方程的解是原方程解得两倍。但是通过程序计算的解中完全没有包含X,Y的相反数,也即是只包含了上面四个解中的一个,所以程序计算的解的个数是原方程解的个数的二分之一。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> using namespace std; #define maxN 139919 #define cube(x) (x*x*x) #define base 12500000 #define maxM 25000000 struct node { int sum; short num; node* next; }* hashTab[maxN]; int hashInsert(int tmpSum) { tmpSum = abs(tmpSum); int slot = tmpSum%maxN; node* tmpNode; for(tmpNode = hashTab[slot];tmpNode != NULL;tmpNode = tmpNode->next) { if(tmpNode->sum == tmpSum) { tmpNode->num++; return 0; } } tmpNode = new node; tmpNode->sum = tmpSum; tmpNode->num = 1; //初始化为0错误 tmpNode->next = hashTab[slot]; hashTab[slot] = tmpNode; return 0; } short hashCheck(int tmpSum) { tmpSum = abs(tmpSum); if(tmpSum <= base) { int slot = tmpSum%maxN; node* tmpNode; for(tmpNode = hashTab[slot];tmpNode != NULL;tmpNode = tmpNode->next) { if(tmpNode->sum == tmpSum) return tmpNode->num; } } return 0; } int main() { short i,j,k; int tmpSum,resultNum; int tmpProduct[3]; short a[5]; resultNum = 0; memset(hashTab,0,sizeof(hashTab)); for(i = 0;i < 5;i++) scanf("%hd",a+i); for(i = 1;i <= 50;i++) for(j = 1;j <= 50;j++) { tmpProduct[0] = a[0]*cube(i); tmpProduct[1] = a[1]*cube(j); tmpSum = tmpProduct[0]+tmpProduct[1]; hashInsert(tmpSum); tmpSum = tmpProduct[0]-tmpProduct[1]; hashInsert(tmpSum); } for(i = 1;i <= 50;i++) for(j = 1;j <= 50;j++) for(k = 1;k <= 50;k++) { tmpProduct[0] = a[2]*cube(i); tmpProduct[1] = a[3]*cube(j); tmpProduct[2] = a[4]*cube(k); tmpSum = tmpProduct[0]+tmpProduct[1]+tmpProduct[2]; resultNum += hashCheck(tmpSum); tmpSum = tmpProduct[0]+tmpProduct[1]-tmpProduct[2]; resultNum += hashCheck(tmpSum); tmpSum = tmpProduct[0]-tmpProduct[1]-tmpProduct[2]; resultNum += hashCheck(tmpSum); tmpSum = tmpProduct[0]-tmpProduct[1]+tmpProduct[2]; resultNum += hashCheck(tmpSum); } printf("%d\n",resultNum*2); return 0; }
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