二分查找的边界问题

考虑一个问题：给定正序排列的数组，A，有 n 个元素，找出不大于 M 的元素中最大的元素的下标。

这个问题要考虑以下几个边界条件：

1.不大于 M 的元素中最大的元素可能就是 M

2.不大于 M 的元素中最大的元素不是M

另外，还有隐形的边界问题

1.查找何时结束。在二分查找中，一般是以等于查找元素或者待查找的部分为空作为结束条件。在这个问题中，实际上也是以为这两个条件的或作为结束条件。

2.查找的过程中，设当前查找部分为 i ~ j，我们用 A[(i + j)/2]去定位下次应该在左边部分，还是右边部分查找。因此会有下面的代码：

但是这个代码忽略了一种情况，我们设想一下，如果现在等查找的部分是下标为13 ~ 17 的元素，值是 11,23,44,100,200, 令 M = 70；此时 A[mid] = A[(13 + 17)/2] = A[15] = 44，按上面的代码，下一次查找的
范围是 16 ~ 17 元素。但我们看上面的值，它们都大于 M，因此，不可能在剩下的元素中找到不大于 M 的元素中最大的元素。很明显，说明上一次划分下一次查找部分的地方出错了。

我们先这样考虑，当 A[mid] < M时，将 mid 元素也纳入下一次查找的范围，因为 A[mid] 是小于 M的，这样就保证了划分到的范围必然能够找到解。

但如果我们考虑查找的部分是下标为 4 ~ 5 的元素，值是 4,7，令 M = 70，A[mid] = A[(4 + 5)/2] = A[4] < M，如果按上面的思路，我们将 A[mid] 纳入到下一次查找的范围，因此，下次查找的范围是 4 ~ 5，又是 4 ~5 ！于是，按这个处理会陷入死循环！

所以，上面的思路是行不通的！

所以，当 A[mid] < M时，不能将 mid 元素纳入下一次查找的范围。（结论一）

我们再考虑 A[mid] > M 时，显然没有必要将 mid 元素纳入下一次查找的范围，因为我们查找的元素是小于 M的，没有必要将一个不可能成为结果的元素纳入查找。实际上，如果纳入查找，也可能形成死循环。读者可以自行举例。

所以，当A[mid] > M时，不能将 mid 元素纳入下一次查找的范围。（结论二）

因此，我们循环里面的执行流程结构是不会改变的，还是上面给出代码的结构。

由结论一，不将 mid 加入下次查找的范围，那么，下一次查找的范围的元素都是大于 M 的，此时，我们有两种处理手段：

1.让其继续寻找，依据结论一和结论二，我们避开了死循环的机会，因此，继续寻找最终必定会处理完成。

2.我们每次检查下次查找的范围的首个元素 A[mid + 1] （注意判断 mid + 1 是不是有效的下标），若 A[mid + 1] > M，则 mid 元素就是小于 M 的最大元素。若 A[mid + 1] = M ，直接返回结果。剩下的 A[mid + 1] < M 继续查找。

但是上面还没有回答一个问题，结果如何给出？

实际上，我们的处理过程，每次都可以找出 A[mid] < M ，那么，它就是一个潜在的答案，我们只需要保存下来，并且去更新就行了，最终一定可以得到答案。给出代码。

最后，还有一个问题。

查找结束的条件，真的是“等于查找元素或者待查找的部分为空”吗？也就是上面代码中的，continue_ = (!(i == j)) 是正确的处理吗？答案是，不正确！

按代码的逻辑，可能出现在一堆大于 M 的元素中寻找结果。假设现在还剩下两个元素 i ~ j ，值是 100,200。A[mid] 必将大于 M，因为这一堆元素都比 M 大。mid = (i + j)/2 = i，下一次查找的范围是 i ~ mid - 1，即 i ~ i-1，此时，应该退出查找，因为查找的部分为负范围，是无效的范围。因此，正确的代码是将上面那句改成： continue_
= (!(i <= j))。

毫无疑问，上面的第 2 种处理效率更高，因为它能避开很多无畏的查找，因此，最终给出一个效率稍高的实现。