LR 逻辑回归

初步接触

谓LR分类器(Logistic Regression Classifier)，并没有什么神秘的。在分类的情形下，经过学习之后的LR分类器其实就是一组权值w0,w1,...,wm.

当测试样本集中的测试数据来到时，这一组权值按照与测试数据线性加和的方式，求出一个z值：

z = w0+w1*x1+w2*x2+...+wm*xm。 ① （其中x1,x2,...,xm是某样本数据的各个特征，维度为m）

之后按照sigmoid函数的形式求出：

σ(z) = 1 / (1+exp(z)) 。②

由于sigmoid函数的定义域是(-INF, +INF),而值域为(0, 1)。因此最基本的LR分类器适合于对两类目标进行分类。

那么LR分类器的这一组权值w0,w1,...,wm是如何求得的呢？这就需要涉及到极大似然估计MLE和优化算法的概念了。

我们将sigmoid函数看成样本数据的概率密度函数，每一个样本点，都可以通过上述的公式①和②计算出其概率密度

详细描述

1.逻辑回归模型

1.1逻辑回归模型
考虑具有p个独立变量的向量

,设条件概率

为根据观测量相对于某事件发生的概率。逻辑回归模型可表示为


　　　　　　　　　（1.1）
上式右侧形式的函数称为称为逻辑函数。下图给出其函数图象形式。



其中

。如果含有名义变量，则将其变为dummy变量。一个具有k个取值的名义变量，将变为k-1个dummy变量。这样，有


（1.2）
　　定义不发生事件的条件概率为


（1.3）
那么，事件发生与事件不发生的概率之比为



（1.4）
这个比值称为事件的发生比(the odds of experiencing an event),简称为odds。因为0<p<1,故odds>0。对odds取对数，即得到线性函数，


　　　　　　（1.5），

1.2极大似然函数
　　假设有n个观测样本，观测值分别为

设

为给定条件下得到yi=1（原文

）的概率。在同样条件下得到yi=0（

）的条件概率为

。于是，得到一个观测值的概率为


(1.6)
-----此公式实际上是综合前两个等式得出，并无特别之处
因为各项观测独立，所以它们的联合分布可以表示为各边际分布的乘积。



上式称为n个观测的似然函数。我们的目标是能够求出使这一似然函数的值最大的参数估计。于是，最大似然估计的关键就是求出参数

，使上式取得最大值。
对上述函数求对数


（1.8）
上式称为对数似然函数。为了估计能使

取得最大的参数

的值。
对此函数求导，得到p+1个似然方程。


（1.9）


，j=1,2,..,p.-----p为独立向量个数
上式称为似然方程。为了解上述非线性方程，应用牛顿－拉斐森(Newton-Raphson)方法进行迭代求解。
1.3　牛顿－拉斐森迭代法
　　对

求二阶偏导数，即Hessian矩阵为





（1.10）
如果写成矩阵形式，以Ｈ表示Hessian矩阵，Ｘ表示



（1.11）
令


（1.12）
则

。再令

(注：前一个矩阵需转置)，即似然方程的矩阵形式。
得牛顿迭代法的形式为



（1.13）
注意到上式中矩阵Ｈ为对称正定的，求解

即为求解线性方程ＨＸ＝Ｕ中的矩阵Ｘ。对Ｈ进行cholesky分解。
最大似然估计的渐近方差（asymptotic variance）和协方差(covariance)可以由信息矩阵（information matrix）的逆矩阵估计出来。而信息矩阵实际上是

二阶导数的负值，表示为

。估计值的方差和协方差表示为

，也就是说，估计值

的方差为矩阵Ｉ的逆矩阵的对角线上的值，而估计值

和

的协方差(

和

的协方差等于

？不解。。。)为除了对角线以外的值。然而在多数情况，我们将使用估计值

的标准方差，表示为


，for j=0,1,2,…,p
（1.14）
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
２.显著性检验
下面讨论在逻辑回归模型中自变量

是否与反应变量显著相关的显著性检验。零假设

：

＝0（表示自变量

对事件发生可能性无影响作用）。如果零假设被拒绝，说明事件发生可能性依赖于

的变化。
2.1 Wald test
对回归系数进行显著性检验时，通常使用Wald检验，其公式为


（2.1）
其中,

为

的标准误差。这个单变量Wald统计量服从自由度等于１的

分布。
　　如果需要检验假设

：

＝0,计算统计量


（2.2）
其中，

为去掉

所在的行和列的估计值，相应地，

为去掉

所在的行和列的标准误差。这里，Wald统计量服从自由度等于p的

分布。如果将上式写成矩阵形式，有


（2.3）
矩阵Ｑ是第一列为零的一常数矩阵。例如，如果检验

，则

。
　　然而当回归系数的绝对值很大时，这一系数的估计标准误就会膨胀，于是会导致Wald统计值变得很小，以致第二类错误的概率增加。也就是说，在实际上会导致应该拒绝零假设时却未能拒绝。所以当发现回归系数的绝对值很大时，就不再用Wald统计值来检验零假设，而应该使用似然比检验来代替。
2.2　似然比（Likelihood ratio test）检验
　　在一个模型里面，含有变量

与不含变量

的对数似然值乘以-2的结果之差，服从

分布。这一检验统计量称为似然比(likelihood
ratio)，用式子表示为


（2.4）
计算似然值采用公式（1.8）。
倘若需要检验假设

：

＝0,计算统计量


（2.5）
式中，

表示

＝0的观测值的个数，而

表示

＝１的观测值的个数，那么n就表示所有观测值的个数了。实际上，上式的右端的右半部分

表示只含有

的似然值。统计量G服从自由度为p的

分布
2.3 Score检验
　　在零假设

：

＝0下，设参数的估计值为

，即对应的

＝0。计算Score统计量的公式为


　　　　　　　　　　（2.6）
上式中，

表示在

＝0下的对数似然函数（1.9）的一价偏导数值，而

表示在

＝0下的对数似然函数（1.9）的二价偏导数值。Score统计量服从自由度等于１的

分布。
2.4　模型拟合信息
　　模型建立后，考虑和比较模型的拟合程度。有三个度量值可作为拟合的判断根据。
(1)-2LogLikelihood


（2.7）
(2) Akaike信息准则（Akaike Information Criterion,简写为AIC）


(2.8)
　其中Ｋ为模型中自变量的数目，Ｓ为反应变量类别总数减１，对于逻辑回归有S=2-1=1。-2LogL的值域为0至

，其值越小说明拟合越好。当模型中的参数数量越大时，似然值也就越大，-2LogL就变小。因此，将２(K+S)加到AIC公式中以抵销参数数量产生的影响。在其它条件不变的情况下，较小的AIC值表示拟合模型较好。
(3)Schwarz准则
　　这一指标根据自变量数目和观测数量对-2LogL值进行另外一种调整。SC指标的定义为


(2.9)
其中ln(n)是观测数量的自然对数。这一指标只能用于比较对同一数据所设的不同模型。在其它条件相同时，一个模型的AIC或SC值越小说明模型拟合越好。

3.回归系数解释
3.1发生比
odds=[p/(1-p)]

，即事件发生的概率与不发生的概率之比。而发生比率(odds
ration),即


(1)连续自变量。对于自变量

，每增加一个单位，odds
ration为


(3.1)
(2)二分类自变量的发生比率。变量的取值只能为0或1，称为dummy variable。当

取值为1，对于取值为0的发生比率为


(3.2)

亦即对应系数的幂。
(3)分类自变量的发生比率。
如果一个分类变量包括m个类别，需要建立的dummy variable的个数为m-1,所省略的那个类别称作参照类(reference category)。设dummy variable为

，其系数为

，对于参照类，其发生比率为

。
3.2 逻辑回归系数的置信区间
　　对于置信度１-

，参数

的100%（１-

）的置信区间为


（3.3）
　　上式中，

为与正态曲线下的临界Ｚ值（critical
value）,

为系数估计

的标准误差，

和

两值便分别是置信区间的下限和上限。当样本较大时，

＝0.05水平的系数

的95%置信区间为


（3.4）
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4.变量选择
4.1前向选择（forward selection）：在截距模型的基础上，将符合所定显著水平的自变量一次一个地加入模型。
　　具体选择程序如下
（1） 常数（即截距）进入模型。
（2） 根据公式（2.6）计算待进入模型变量的Score检验值，并得到相应的P值。
（3） 找出最小的p值，如果此p值小于显著性水平

,则此变量进入模型。如果此变量是某个名义变量的单面化(dummy)变量，则此名义变量的其它单面化变理同时也进入模型。不然，表明没有变量可被选入模型。选择过程终止。
（4） 回到(2)继续下一次选择。
4.2 后向选择（backward selection）：在模型包括所有候选变量的基础上，将不符合保留要求显著水平的自变量一次一个地删除。
具体选择程序如下
(1) 所有变量进入模型。
(2) 根据公式（2.1）计算所有变量的Wald检验值，并得到相应的p值。
(3) 找出其中最大的p值，如果此P值大于显著性水平

，则此变量被剔除。对于某个名义变量的单面化变量，其最小p值大于显著性水平

，则此名义变量的其它单面化变量也被删除。不然，表明没有变量可被剔除，选择过程终止。
(4) 回到(2)进行下一轮剔除。
4.3逐步回归(stepwise selection)
(1)基本思想：逐个引入自变量。每次引入对Ｙ影响最显著的自变量，并对方程中的老变量逐个进行检验，把变为不显著的变量逐个从方程中剔除掉，最终得到的方程中既不漏掉对Ｙ影响显著的变量，又不包含对Ｙ影响不显著的变量。
(2)筛选的步骤：首先给出引入变量的显著性水平

和剔除变量的显著性水平

，然后按下图筛选变量。



(3)逐步筛选法的基本步骤
逐步筛选变量的过程主要包括两个基本步骤：一是从不在方程中的变量考虑引入新变量的步骤；二是从回归方程中考虑剔除不显著变量的步骤。
假设有p个需要考虑引入回归方程的自变量.
① 设仅有截距项的最大似然估计值为

。对p个自变量每个分别计算Score检验值，
设有最小p值的变量为

，且有

，对于单面化(dummy)变量，也如此。若

，则此变量进入模型，不然停止。如果此变量是名义变量单面化(dummy)的变量，则此名义变量的其它单面化变量也进入模型。其中

为引入变量的显著性水平。
② 为了确定当变量

在模型中时其它p-1个变量也是否重要，将

分别与

进行拟合。对p-1个变量分别计算Score检验值，其p值设为

。设有最小p值的变量为

，且有

.若

，则进入下一步，不然停止。对于单面化变量，其方式如同上步。
③ 此步开始于模型中已含有变量

与

。注意到有可能在变量

被引入后，变量

不再重要。本步包括向后删除。根据(2.1)计算变量

与

的Wald检验值，和相应的p值。设

为具有最大p值的变量，即

=max(

),

.如果此p值大于

，则此变量从模型中被删除，不然停止。对于名义变量，如果某个单面化变量的最小p值大于

，则此名义变量从模型中被删除。
④ 如此进行下去，每当向前选择一个变量进入后，都进行向后删除的检查。循环终止的条件是：所有的p个变量都进入模型中或者模型中的变量的p值小于

，不包含在模型中的变量的p值大于

。或者某个变量进入模型后，在下一步又被删除，形成循环。

转自：/article/1973566.html