HDU 4861 Couple doubi(数论)

HDU 4861 Couple doubi

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题意：给定k，p，有k个球，每个球的值为1^i+2^i+...+(p-1)^i (mod p) （1 <= i <= k)，现在两人轮流取球，最后球的值总和大的人赢，问先手是否能赢

思路：先手不可能输，非赢即平，那么只要考虑每种球的值，

利用费马小定理或欧拉定理，很容易得到该函数的循环节为p - 1,

那么i如果为p - 1的倍数，即为循环节的位置，那么每个值都为1，总和为p - 1

如果i不在循环节的位置，任取一个原根g，根据原根的性质，gi中包含了1到p
- 1，那么原式等同于g1m+g2m+g3m...mod p，这是一个等比数列，利用前n项和公式，求得gm∗(1−gmp−1)/(1−gm) mod p，那么在利用费马定理gmp−1 mod p=1
那么原式为0

得证原式循环节为p - 1，并且只有循环节上有值，因此只要判断原始的循环节个数是奇数个还是偶数个即可

代码：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>

long long k, p;

int main() {
while (~scanf("%lld%lld", &k, &p)) {
if (k / (p - 1) % 2) printf("YES\n");
else printf("NO\n");
}
return 0;
}