BZOJ 1690: [Usaco2007 Dec]奶牛的旅行

Description

作为对奶牛们辛勤工作的回报，Farmer John决定带她们去附近的大城市玩一天。旅行的前夜，奶牛们在兴奋地讨论如何最好地享受这难得的闲暇。 很幸运地，奶牛们找到了一张详细的城市地图，上面标注了城市中所有L(2 <= L <= 1000)座标志性建筑物（建筑物按1..L顺次编号），以及连接这些建筑物的P(2 <= P <= 5000)条道路。按照计划，那天早上Farmer
John会开车将奶牛们送到某个她们指定的建筑物旁边，等奶牛们完成她们的整个旅行并回到出发点后，将她们接回农场。由于大城市中总是寸土寸金，所有的道路都很窄，政府不得不把它们都设定为通行方向固定的单行道。 尽管参观那些标志性建筑物的确很有意思，但如果你认为奶牛们同样享受穿行于大城市的车流中的话，你就大错特错了。与参观景点相反，奶牛们把走路定义为无趣且令她们厌烦的活动。对于编号为i的标志性建筑物，奶牛们清楚地知道参观它能给自己带来的乐趣值F_i (1 <= F_i <= 1000)。相对于奶牛们在走路上花的时间，她们参观建筑物的耗时可以忽略不计。
奶牛们同样仔细地研究过城市中的道路。她们知道第i条道路两端的建筑物 L1_i和L2_i（道路方向为L1_i -> L2_i），以及她们从道路的一头走到另一头所需要的时间T_i(1 <= T_i <= 1000)。 为了最好地享受她们的休息日，奶牛们希望她们在一整天中平均每单位时间内获得的乐趣值最大。当然咯，奶牛们不会愿意把同一个建筑物参观两遍，也就是说，虽然她们可以两次经过同一个建筑物，但她们的乐趣值只会增加一次。顺便说一句，为了让奶牛们得到一些锻炼，Farmer John要求奶牛们参观至少2个建筑物。 请你写个程序，帮奶牛们计算一下她们能得到的最大平均乐趣值。

Input

* 第1行: 2个用空格隔开的整数：L 和 P
* 第2..L+1行: 第i+1行仅有1个整数：F_i * 第L+2..L+P+1行: 第L+i+1行用3个用空格隔开的整数：L1_i，L2_i以及T_i， 描述了第i条道路。

Output

* 第1行: 输出1个实数，保留到小数点后2位（直接输出，不要做任何特殊的取 整操作），表示如果奶牛按题目中描述的一系列规则来安排她们的旅 行的话，她们能获得的最大平均乐趣值

Sample Input

5 7

30

10

10

5

10

1 2 3

2 3 2

3 4 5

3 5 2

4 5 5

5 1 3

5 2 2

Sample Output

6.00

输出说明:

如果奶牛选择1 -> 2 -> 3 -> 5 -> 1的旅行路线，她们能得到的总乐趣值

为60，为此她们得花费10单位的时间在走路上。于是她们在这次旅行中的平均乐

趣值为6。如果她们走2 -> 3 -> 5 -> 2的路线，就只能得到30/6 = 5的平均乐

趣值。并且，任何去参观建筑物4的旅行路线的平均乐趣值都没有超过4。

题解

二分+spfa判负环，这种题应该是一种很经典的模型。它要求∑点权（设为a）/∑边权（设为e）=k中的k最大。此题的要求是环上的∑a/∑e=k最大。

证明：设当前最大值为K，而在若存在∑a/∑e>K，则表示K*∑e-∑a<0，那么我们只要重设单向边的值，用是spfa判负环即可。

具体见代码：

代码1:32ms

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define inf 1<<30
using namespace std;
int n,m,d[1002];
int a[5002],b[5002],c[5002],zz,head[1002];
struct bian{int to,nx;double v;} e[5002];
double dis[1002];
int pd[1002],tag;
void init()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
int i,j,x,y,z;
for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&d[i]);
for(i=1;i<=m;i++)
scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);
}
void insert(int x,int y,double z)
{zz++; e[zz].to=y; e[zz].v=z; e[zz].nx=head[x]; head[x]=zz;}
void rebuild(double k)
{
int i,x,y;
double z;
zz=0;
for(i=1;i<=n;i++) head[i]=0;
for(i=1;i<=m;i++)
{x=a[i]; y=b[i];
z=double(k*c[i])-d[y];
insert(x,y,z);
}
}
void spfa(int x)
{
if(pd[x]) {tag=1;return;}
int i=head[x],p;
pd[x]=1;
while(i)
{p=e[i].to;
if(dis[x]+e[i].v<dis[p])
{dis[p]=dis[x]+e[i].v;
spfa(p);
if(tag) return;
}
i=e[i].nx;
}
pd[x]=0;
}
bool check()
{
int i;
tag=0;
for(i=1;i<=n;i++) {dis[i]=0; pd[i]=0;}
for(i=1;i<=n;i++)
{spfa(i); if(tag) return 1;}
return 0;
}
void work()
{
double l=0,r=1000,mid;
int i;
while(r-l>0.0001)
{mid=(l+r)/2.0;
rebuild(mid);
if(check()) l=mid;
else r=mid;
}
printf("%.2lf\n",l);
}
int main()
{
init(); work();
return 0;
}

代码2:3560ms

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define inf 1<<30
using namespace std;
int n,m,d[1002];
int a[5002],b[5002],c[5002],zz,head[1002];
struct bian{int to,nx;double v;} e[5002];
double dis[1002];
int pd[1002],tag;
void init()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
int i,j,x,y,z;
for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&d[i]);
for(i=1;i<=m;i++)
scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);
}
void insert(int x,int y,double z)
{zz++; e[zz].to=y; e[zz].v=z; e[zz].nx=head[x]; head[x]=zz;}
void rebuild(double k)
{
int i,x,y;
double z;
zz=0;
for(i=1;i<=n;i++) head[i]=0;
for(i=1;i<=m;i++)
{x=a[i]; y=b[i];
z=double(k*c[i])-d[y];
insert(x,y,z);
}
}
void spfa(int x)
{
if(pd[x]) {tag=1;return;}
int i=head[x],p;
pd[x]=1;
while(i)
{p=e[i].to;
if(dis[x]+e[i].v<dis[p])
{dis[p]=dis[x]+e[i].v;
spfa(p);
if(tag) return;
}
i=e[i].nx;
}
pd[x]=0;
}
void work()
{
double l=0,r=1000,mid;
int i;
while(r-l>0.0001)
{mid=(l+r)/2.0;
rebuild(mid);
tag=0;
for(i=1;i<=n;i++) {dis[i]=inf; pd[i]=0;}
dis[1]=0; spfa(1);
if(tag) l=mid;
else r=mid;
}
printf("%.2lf\n",l);
}
int main()
{
init(); work();
return 0;
}