博弈入门小结2

SG函数的学习链接：http://www.cnitblog.com/weiweibbs/articles/42735.html

下面介绍一下SG函数和SG定理：

我们就在有向无环图的顶点上定义Sprague-Garundy函数。

1、首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。

例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Garundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 }。

2、定义游戏G是G1、G2、……、Gn的和(Sum)，游戏G的移动规则是：任选一个子游戏Gi并移动上面的棋子。

Sprague-Grundy Theorem（SG定理）就是：g(G)=g(G1)^g(G2)^...^g(Gn)。也就是说，游戏的和的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。

下面举几个例简单游戏的sg函数

1、nim游戏是sg函数的特例 ,设某堆有石头n个，则其 sg[ n ] = n

2、每次只能取1、2、3个石子，sg[x] = x%4

3、每次只能取奇数个石子，sg[x] = x%2