01背包（降维 + 常数级优化）

题目：
共n个物体，第i个重量为w[i]，价值v[i]，背包最多能背不超过W的物体，求最大的价值分析： 每个物体只有一个，在容量允许时（W>w[i]），则对于每个物体只有取、不取两种选择
状态：dp[i][j]：前i个物体，在容量为j的时候，最大的价值 状态转移：

[j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);for(i = 1; i<=n; i++)
{
for(j = 0; j<=W; j++)
{
if(j<w[i])
dp[i][j] = dp[i-1][j];
else
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);
}
}

二维代码：

, v[100];
int dp[100][100];

int main()
{
freopen("a.txt", ]降维：    减行，第i个物体的更新，只依赖于第i-1个的物体的结果
所以可以用滚动数组，每次只存i和i-1时候的值 （可得：dp
[W] → dp[2][W] ）
删行，第i个物体在容积为j状态的更新，只依赖i-1物体容量里j-w[i]的状态的结果
所以，从后面开始向前更新，则求j位置时候，j-w[i]的值依旧为i-1时候的值（可得：dp
[W] → dp[W] ）一维核心：for(i = 1; i<=n; i++)
{
for(j = W; j>=w[i]; j--) //从后向前，此时dp[j-w[i]]相当于dp[i-1][j-w[i]]
{
dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);
}
}

一维代码：

, v[100];
int dp[100];

int main()
{
freopen("a.txt", ]初始化：    1、memset(dp, 0, sizeof(dp))
求不超过容积的W的最大价值
容积有剩余的状态依旧有值，为前一个恰好装满最优解的值
2、memset(dp, -0x3f, sizeof(dp)); //负无穷、不可达点（当前值约为：-1e+10）
求恰好装满容积的最大价值（可能无解）
当且仅当恰好装满的状态有值，其他存在空白容积的状态无法到达
常数级优化：    一维中的内循环下限，由j>=w[i] → j>=max{w[i], W-(∑(i,n)w[i])}    1、下限为j>=w[i]时候        在所有剩余容积大于等于w[i]时候，选择取、不取第i物品
2、下限为j>=max{w[i], W-(∑(i,n)w[i])}时候        只更新在i+1时候需要用到的状态，并不把所以可能状态求出常数级优化代码：#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <string>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <vector>

using namespace std;

int w[100], v[100];
int dp[100];

int main()
{
freopen("a.txt", "r", stdin);
int n, W, i, j;
while(~scanf("%d%d", &W, &n))
{
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for(i = 1; i<=n; i++)
{
scanf("%d%d", &w[i], &v[i]);
}
int lower, sum = 0;
for(i = 1; i<=n; i++)
{
if(i!=1) sum += w[i-1];
lower = max(sum, w[i]);
for(j = W; j>=lower; j--)
{
dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]);
}
}
printf("%d\n", dp[W]);
}
return 0;
}