LIS - 最长上升子序列 （二分优化）

题目：
长度为n的序列a1, a2, ..., an,选出满足 j < i 时, a[j] < a[i] 最长子序列

分析：
当选择第i个时候，在j<i中，选出a[j]<a[i]的数加入，维护最大长度

状态：dp[i]表示以i为终点的最大上升序列

转移方程：

 = max{dp[j] | j<i, a[j]<a[i]} + 1;

核心：
for(i = 1; i<=n; i++)
{
dp[i] = 1;
for(j = 1; j<i; j++)
{
if(a[i]>a[j])
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}


代码：
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <string>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <vector>
#include <time.h>

using namespace std;

int v[10000+10];
int dp[10000+10];

int main()
{
//freopen("a.txt", ]

二分优化：
如果子序列长度相同，则终点越小，则后面增长的潜能就越大

所以，将长度相同的位置设成其中最小值

状态：dp[i]表示长度为i的序列中终点最小的值

转移：因为dp[i]单调递增，若a[j]>dp[i],则加入其后，若a[j]<dp[i],更新相应终点

优化代码：
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <string>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <vector>

using namespace std;

#define INF 0x7f7f7f7f
#define MAX 1000+10

int a[MAX];
int dp[MAX];

int main()
{
freopen("a.txt", "r", stdin);

int n, i, j;
while(~scanf("%d", &n) && n)
{
fill(dp, dp+n, INF);
for(i = 1; i<=n; i++)
{
scanf("%d", &a[i]);
}
for(i = 1; i<=n; i++)
{
*lower_bound(dp, dp+n, a[i]) = a[i];
}
printf("%d\n", lower_bound(dp, dp+n, INF) - dp);
}
return 0;
}

PS(有序二分搜索)：
1、lower_bound(first, last, value);返回一个指针，指向ai>= value的第一个元素。
2、upper_bound(first, last, value);返回一个指针，指向ai> value的第一个元素。