最长下降子序列O(n^2)及O(n*log(n))解法

求最长下降子序列和LIS基本思路是完全一样的，都是很经典的DP题目。

问题大都类似于 有一个序列 a1,a2,a3...ak..an,求其最长下降子序列（或者求其最长不下降子序列）的长度。

以最长下降子序列为例

用a[i]存储序列a的第i个元素(i: 1 to n)

用f[i]表示算上第i个位置的元素时最长子序列为f[i],

O(n^2)解法：

就是说在1 --- i -1之间必可以找到下标为j的元素a[j]使得f[j]是f[1]---f[i-1]之中最大的，则f[i] = f[j] + 1.

(注意要满足a[j]>a[i])

当i (1 to n)求得f[1] -- f
后只要再求得f[1]--f
之中最大的就是ans了。

状态转移方程：

f[i] = 1 (i = 1)//只有第一个字符

f[i] = f[j] + 1(a[i] < a[j] )//若是最长不下降则满足a[i] >= a[j].

代码实现：

//h[i]为母序列，dp[i]代表到第i个位置算上h[]i后得到的最长下降子序列长度ans是最长下降子序列长度
//f[i]代表到第i个位置算上h[]i后得到的最长不下降子序列长度min‡是最长不下降子序列长度
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define maxint 0x7f7f7f7f
const int N = 100000;

int h
,dp
,f
;
int main(){
// freopen("in.txt","r",stdin);
// freopen(".txt","w",stdout);
int n = 1;
int ans = -maxint,min = -maxint;
while(scanf("%d",&h
) != EOF){
n ++;
}
dp[1] = f[1] = 1;
for(int i = 1; i < n; i ++){
dp[i] = 1;
f[i] = 1;
for(int j = 1; j < i; j ++){
if(dp[j]+1>dp[i] && h[j] > h[i])
dp[i] = dp[j]+1;
if(f[j]+1>f[i] && h[j] < h[i])
f[i] = f[j]+1;
}
}
for(int i = 1; i < n; i ++){
if(ans<dp[i]){
ans = dp[i];
}
if(min<f[i])
min = f[i];
}

printf("%d\n%d\n",ans,min);

return 0;
}

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O(n*logn)解法

思路：

令数组c[k]记录使f[]= k时的a[i]的最小值，len表示此时最长下降子列的长度

在第i个位置有两种情况

1.a[i]<c[k],此时满足降序只需将a[i]接在c[k]后面，len +1;

2.a[i]>=c[k],则需要在a[1] 到c[k]之间找到一个大于它的最小值a[j]，然后将a[i]置于j+1的位置，len = k = j+1.

由于c[k]不然具有单调性因而寻找a[j]的过程可以用二分。这也就是算法复杂度达到O(n*logn)的原因。

最后len的值也就是最长子序列的长度。

代码实现：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1000000;
//二分查找返回大于a[i]的最小值的下标
int bSearch(int c[],int len,int n){
int left = 1,right = len,mid;
while(left <= right){
mid = (left+right)/2;
if(n > c[mid])
right = mid - 1;
else if(n < c[mid])
left = mid + 1;
else
return mid;

}
return left;
}

int a
,c
;
int main(){
int n = 1,j,len;
int count = 0;
// freopen("in.txt","r",stdin);
// freopen("out.txt","w",stdout);
while(scanf("%d",&a
) != EOF){
n ++;
}
c[1] = a[1];
len = 1;
for(int i = 1; i < n; i ++){
j = bSearch(c,len,a[i]);
c[j] = a[i];
if(j > len)//没找到，说明a[i]<c[k]，根据二分查找的特点刚好j比len大一，将a[i]加到c[len+1]的位置
len = j;//更新len
}
printf("  ans = %d\n",len);

return 0;
}