【数论】【素数】素数相关基础——获得素数与判别素数
2014-07-15 20:03
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1、 暴力
根据质数的定义,枚举2..n-1,看是否能被n整除,当然,我们可以将枚举范围优化到sqrt(n)。
暴力判定素数的方法时间复杂度是O(n^1/2)
bool baoli(LL n){
if (n<=1) return false;
if (n==2 || n==3) return true;
for (LL i=2;i<=sqrt(n);i++){
if (n % i ==0) return false;
}
return true;
}
暴力的方法也可以用来生成较小范围的素数表。
2、 筛选法打表
当我们需要大量用到质数,并且质数的大小有一定限制的时候,我们显然是可以通过打表的方法节省重复计算的时间的,然而打表怎么打?暴力显然是很低效的,素数的打表我们通常使用筛选法。
筛选法的基本思想是:i从2开始枚举,如果i是质数,那么显然i的整倍数就不可能是素数了,划去,如果i不是质数,显然在之前就已经被划去了。这样枚举到n后,1..n范围内的质数就被筛选出来了。
memset(prime,0,sizeof(prime));
prime[0]=prime[1]=1;
for (int i=2;i<=N;i++){
if (prime[i]==0){
for (int j=i+i;j<=N;j+=i){
prime[j]=1;
}
}
}
最终prime数组中留下来的就是素数了。
3、 Miller-Rabin素数测试
知识准备:费马小定理,如果p是质数,gcd(a,p)=1,则一定有a^(p-1)%p=1
Miller-Rabin的素数测试就是利用了费马小定理,假设我们现在要对p进行素数测试,对于任意一个a<p,如果不满足a^(p-1)%p=1则p一定不是素数,当然,满足了也不一定是素数。
现在我们多次随机选取a,如果每一次都有a^(p-1)%p=1,当a的数量取得越多,则p为素数的概率越大,当a随机取值50次的时候,几乎可以确定p是一个素数。
然而求幂的时候,对于大数还是会比较慢,所以有一个优化方法:
假设我们现在tmp=144,那么就把tmp不停/2,直到tmp为奇数为止,也即tmp被分解为了=2^4*9,我们只需要计算a^9,然后进行4次a^2的迭代运算即可。
bool witness(LL a,LL n){
LL tmp=n-1;
LL cnt=0;
while (tmp%2==0){
cnt++;
tmp=tmp>>1;
}
LL x=pow_mod(a,tmp,n);
if (x==1 || x==n-1) return true;
while (cnt--){
x=x*x%n;
if (x==n-1) return true;
}
return false;
}
bool miller(LL n){
if (n<=1) return false;
if (n==2 || n==3) return true;
if (n%2==0) return false;
for (LL i=1;i<=50;i++){
LL a=rand()%(n-1+1)+1;
if (!witness(a,n)) return false;
}
return true;
}
这是我自己的代码,强行跑50次测试,几乎可以保证通过测试的数即为素数。
但是由于是强行跑50次,小于50的素数无法正确地通过测试。当然,对于小素数而言,暴力判别或者直接打表是更加高效的判别方法。
Miller-Rabin素数测试适合对较大的数进行素数测试。
可以改进的地方是把测试次数与被测数的大小关联起来,或者直接随机生成一个合适的次数,比如网上某个版本:
bool Witness(LL a,LL n)
{
LL m = n-1;
int j=0;
while( !(m&1) )
{
j++;
m >>= 1;
}
LL x = exp_mod(a,m,n);
if(x == 1 || x == n-1) return false; // n may be prime
while(j--)
{
// x = exp_mod(x,2,n);
x = x * x % n;
if(x == n-1) return false;
}
return true; //n must be composite
}
bool Miller_Rabin(LL n,int T=1)
{
if(n<2) return false;
if(n==2) return true;
if( !(n&1) ) return false;
while(T--)
{
LL a = rand() * (n-2) / RAND_MAX + 1; //[1,n+1]
if( Witness(a,n) ) return false;
}
return true;
}
根据质数的定义,枚举2..n-1,看是否能被n整除,当然,我们可以将枚举范围优化到sqrt(n)。
暴力判定素数的方法时间复杂度是O(n^1/2)
bool baoli(LL n){
if (n<=1) return false;
if (n==2 || n==3) return true;
for (LL i=2;i<=sqrt(n);i++){
if (n % i ==0) return false;
}
return true;
}
暴力的方法也可以用来生成较小范围的素数表。
2、 筛选法打表
当我们需要大量用到质数,并且质数的大小有一定限制的时候,我们显然是可以通过打表的方法节省重复计算的时间的,然而打表怎么打?暴力显然是很低效的,素数的打表我们通常使用筛选法。
筛选法的基本思想是:i从2开始枚举,如果i是质数,那么显然i的整倍数就不可能是素数了,划去,如果i不是质数,显然在之前就已经被划去了。这样枚举到n后,1..n范围内的质数就被筛选出来了。
memset(prime,0,sizeof(prime));
prime[0]=prime[1]=1;
for (int i=2;i<=N;i++){
if (prime[i]==0){
for (int j=i+i;j<=N;j+=i){
prime[j]=1;
}
}
}
最终prime数组中留下来的就是素数了。
3、 Miller-Rabin素数测试
知识准备:费马小定理,如果p是质数,gcd(a,p)=1,则一定有a^(p-1)%p=1
Miller-Rabin的素数测试就是利用了费马小定理,假设我们现在要对p进行素数测试,对于任意一个a<p,如果不满足a^(p-1)%p=1则p一定不是素数,当然,满足了也不一定是素数。
现在我们多次随机选取a,如果每一次都有a^(p-1)%p=1,当a的数量取得越多,则p为素数的概率越大,当a随机取值50次的时候,几乎可以确定p是一个素数。
然而求幂的时候,对于大数还是会比较慢,所以有一个优化方法:
假设我们现在tmp=144,那么就把tmp不停/2,直到tmp为奇数为止,也即tmp被分解为了=2^4*9,我们只需要计算a^9,然后进行4次a^2的迭代运算即可。
bool witness(LL a,LL n){
LL tmp=n-1;
LL cnt=0;
while (tmp%2==0){
cnt++;
tmp=tmp>>1;
}
LL x=pow_mod(a,tmp,n);
if (x==1 || x==n-1) return true;
while (cnt--){
x=x*x%n;
if (x==n-1) return true;
}
return false;
}
bool miller(LL n){
if (n<=1) return false;
if (n==2 || n==3) return true;
if (n%2==0) return false;
for (LL i=1;i<=50;i++){
LL a=rand()%(n-1+1)+1;
if (!witness(a,n)) return false;
}
return true;
}
这是我自己的代码,强行跑50次测试,几乎可以保证通过测试的数即为素数。
但是由于是强行跑50次,小于50的素数无法正确地通过测试。当然,对于小素数而言,暴力判别或者直接打表是更加高效的判别方法。
Miller-Rabin素数测试适合对较大的数进行素数测试。
可以改进的地方是把测试次数与被测数的大小关联起来,或者直接随机生成一个合适的次数,比如网上某个版本:
bool Witness(LL a,LL n)
{
LL m = n-1;
int j=0;
while( !(m&1) )
{
j++;
m >>= 1;
}
LL x = exp_mod(a,m,n);
if(x == 1 || x == n-1) return false; // n may be prime
while(j--)
{
// x = exp_mod(x,2,n);
x = x * x % n;
if(x == n-1) return false;
}
return true; //n must be composite
}
bool Miller_Rabin(LL n,int T=1)
{
if(n<2) return false;
if(n==2) return true;
if( !(n&1) ) return false;
while(T--)
{
LL a = rand() * (n-2) / RAND_MAX + 1; //[1,n+1]
if( Witness(a,n) ) return false;
}
return true;
}
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