数学 之 Codeforces 359D - Pair of Numbers

//  [7/13/2014 Sjm]
/*
直接暴力，超时。。
不过有一点大家都知道：
如果 （b%a == 0），(c%b == 0)， 那么 （c%a == 0） 一定是成立的。

故而在以一个数字a为中心，向两边寻找能够被a整除的数后，已被寻找到的的数是不用再计算的。。。
(因为即使计算这些已被寻找到的数，边界r、l也一定会 小于或等于 以数字a为中心所得到的边界r、l。)

，，，比赛时怎么就没想到呢。。。。
*/

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAX = 300005;

int arr[MAX], arr_L[MAX];
int n;

void Solve(){
int cnt = 0, dis = -1;
int l, r;
for (int i = 0; i < n;) {
l = r = i;
while (l && !(arr[l - 1] % arr[i])) { --l; }
while (r < (n - 1) && !(arr[r + 1] % arr[i])) { ++r; }
i = r + 1;
int t_dis = r - l;
if (t_dis > dis) {
cnt = 0;
dis = t_dis;
}
if (t_dis == dis) {
arr_L[cnt++] = l + 1;
}
}
printf("%d %d\n", cnt, dis);
for (int i = 0; i < cnt; i++) {
printf("%d ", arr_L[i]);
}
}

int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
scanf("%d", &arr[i]);
}
Solve();
return  0;
}

//  [7/11/2014 Sjm]
/*
这是另外一种做法：
虽然有些麻烦，但收获很多（Sparce Table算法，以及又一次二分（话说对二分有阴影））

知识点：math + Sparce Table算法（DP） + 二分

math：
数组中[l, r]区间中任意一个数都能被aj整除，则aj必然满足aj是[l,r]中最小的。。
即： 对于区间[l, r]， min(l, r) = gcd(l, r)

Sparce Table算法（DP）：
为了在O(1)的时间，获取某区间的min以及gcd，采用Sparce Table算法。
Sparce Table算法：（本质就是DP）
预处理：
状态：dp[i][j] := 区间[i, i+2^j-1]的函数F值
决策：dp[i][j] = F(dp[i][j-1],  dp[i+2^(j-1)][j-1])
（此题中 函数F 即：min(), gcd()）
查询：
设查询到区间为 [m, n]，区间总共有 (n-m+1) 个数
据方程 2^k <= (n-m+1) 求解出 k，
可得：dp[m]
 = F(dp[m][k], dp[n-2^k+1][k])
（表达式数中有重叠，但保证了结果的正确性）

二分：
采用二分的方法，寻找出满足条件的 (r-l) 的最大值
*/

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
const int MAX_num = 300005;
const int MAX_pow = 20;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int T, n;

int arr_min[MAX_num][MAX_pow];
int arr_gcd[MAX_num][MAX_pow];

int Gcd(int a, int b) {
if (0 == b) { return a; }
else return Gcd(b, a%b);
}

void ST() {
int MAX_j = (int)(log2((double)(n))) + 1;
for (int j = 1; j < MAX_j; ++j) {
for (int i = 0; i < n; ++i) {
int tep = 1 << (j - 1);
if (i + tep < n) {
arr_min[i][j] = min(arr_min[i][j - 1], arr_min[i + tep][j - 1]);
arr_gcd[i][j] = Gcd(arr_gcd[i][j - 1], arr_gcd[i + tep][j - 1]);
}
}
}
}

bool Judge(int len) {
int tep = (int)(log2((double)(len + 1)));
for (int i = 0; i < n - len; i++) {
int j = i + len;
int t_min = min(arr_min[i][tep], arr_min[j - (1 << tep) + 1][tep]);
int t_gcd = Gcd(arr_gcd[i][tep], arr_gcd[j - (1 << tep) + 1][tep]);
if (t_gcd == t_min) {
return true;
}
}
return false;
}

int Binary_search() {
int l = 0, r = n - 1;
int mid;
while (l < r) {
mid = l + ((r - l + 1) >> 1);
//cout << "l = " << l << endl;
if (Judge(mid)) { l = mid; }
else { r = mid - 1; }
}
//cout << "l = " << l << endl;
return l;
}

void myOutput(int len) {
vector<int> vec;
int tep = (int)(log2((double)(len + 1)));
if (len > 0) {
for (int i = 0; i < n - len; i++) {
int j = i + len;
int t_min = min(arr_min[i][tep], arr_min[j - (1 << tep) + 1][tep]);
int t_gcd = Gcd(arr_gcd[i][tep], arr_gcd[j - (1 << tep) + 1][tep]);
if (t_gcd == t_min) {
vec.push_back(i);
}
}
}
else {
for (int i = 0; i < n; ++i) {
vec.push_back(i);
}
}
printf("%d %d\n", vec.size(), (len > 0) ? len : 0);
for (int i = 0; i < vec.size(); ++i) {
printf("%d ", vec[i] + 1);
}
printf("\n");
}

int main()
{
//freopen("input.txt", "r", stdin);
memset(arr_min, INF, sizeof(arr_min));
memset(arr_gcd, INF, sizeof(arr_gcd));
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
scanf("%d", &arr_min[i][0]);
arr_gcd[i][0] = arr_min[i][0];
}
ST();
myOutput(Binary_search());
return 0;
}