有关贝祖定理的一个小问题

有关贝祖定理的一个小问题

所谓贝祖定理是说：

两个整数 a、b 是互质的，等价于方程 ax+by=1有整数解。

当然， 贝祖定理还有一种更一般的形式，说的是两个整数 a、b有最大公因数是c，等价于方程 ax+by=c有整数解。

这两种表述其实是等价的，因为对第二种形式稍微一变形就得到了：



所以我们只需要考虑第一种形式的贝祖定理就可以了。

贝祖定理的证明

贝祖定理的证明并不复杂，不过因为无论是中学还是大学（除了数学专业）都很少讨论这类跟数论相关的问题，所以可能有些人会感觉这个问题有些无从下手。

这里先给个贝祖定理的简单证明。

首先，非常容易就可以证明a、b 如果不互质，那么 ax+by=1无整数解。因此我们只需要考虑a、b 是互质的这种情况。



当x、y取不同整数值时，ax+by 也会有不同的结果，这些结果中最小的那个正整数设为s，也就是

ax+by=s

设a整除s 的商为q，余数为r，也就是



那么



如果 r 不等于0就与我们假设s为ax+by这个集合的最小的正整数矛盾了。所以r只能等于0，也就是说a可以整除s。同理也可以证明b可以整除s，这说明s是a和b的公约数，而我们知道a和b是互质的，所以s只能等于1，这就证明了贝祖定理。

x、y的计算

如何计算x、y的值是另一个问题，当然我们知道x、y有无数多组整数解，我们只需要求出一组解就够了。

不失一般性，我们设 a > b，a = bq+r



可以看到，我们将 ax+by=1转化为 ax+by'=1其中d比a要小，这个过程可以一直重复，直到其中一个整数等于1。方程变类似形式：

ex+y=1

这时只要让x=0，y=1 就可以了。然后一步步回带，就能求得最初的x、y了。这是一个典型的递归的过程。

下面给个C语言实现的代码，代码比较简单，就没有添加注释：

bool Bezout(int a, int b, int *px, int *py)
{
int q, r;
int x, y;
bool ok;
if( a == 1 )
{
*px = 1;
*py = 0;
return true;
}
if( b == 1 )
{
*px = 0;
*py = 1;
return true;
}

if( a >= b )
{
q = a / b;
r = a % b;
if ( r == 0 )
{
return false;
}
ok = Bezout(r, b, &x, &y);
if( ok )
{
*px = x;
*py = y - q * x;
}
return ok;
}
else
{
q = b / a;
r = b % a;
if ( r == 0 )
{
return false;
}
ok = Bezout(a, r, &x, &y);
if( ok )
{
*py = y;
*px = x - q * y;
}
return ok;
}
return true;
}

这里是测试用例：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>

bool Bezout(int a, int b, int *px, int *py);
int main()
{
int x, y;
int a = 73;
int b = 32;
bool ok;

ok = Bezout(a, b, &x, &y);
if(ok)
{
printf("%d * %d + %d * %d = %d, is ok\n", a, x, b, y, a * x + b * y);
}

return 0;
}