算法导论 | 第23章 最小生成树

最小生成树(Minimum Spanning Tree),全称“最小权值生成树”。在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。

有两种具体的实现算法

①.Kruskal算法

②.Prim算法

两者都用到了贪心算法。

1：最小生成树的形成

在每次循环之前，我们要保证集合A是某棵最小生成树的一个子集。

在每一步，我们要做的是选择一条边(u,v)，将其加入到集合A中，使得A不违反循环不变式。我们称这样的边为安全边。

GENERIC_MST(G, w)
A <- 空集
while A does not form a spanning tree
do find an edge(u, v) that is safe for A
A <- A 并 {(u, v)}
return A

2：克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

（1）算法介绍

基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。

具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。

（2）图示

以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。





第1步：将边<E,F>加入R中。

边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第2步：将边<C,D>加入R中。

上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第3步：将边<D,E>加入R中。

上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第4步：将边<B,F>加入R中。

上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。

第5步：将边<E,G>加入R中。

上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第6步：将边<A,B>加入R中。

上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。

此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。

（3）算法解析

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：

问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。

问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。

问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"(关于这一点，后面会通过图片给出说明)。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。 以下图来进行说明：





在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：

(01) C的终点是F。

(02) D的终点是F。

(03) E的终点是F。

(04) F的终点是F。

关于终点，就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。 因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的重点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。

（4）基本定义

// 邻接矩阵
typedef struct _graph
{
char vexs[MAX];       // 顶点集合
int vexnum;           // 顶点数
int edgnum;           // 边数
int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵
}Graph, *PGraph;

// 边的结构体
typedef struct _EdgeData
{
char start; // 边的起点
char end;   // 边的终点
int weight; // 边的权重
}EData;

Graph是邻接矩阵对应的结构体。

vexs用于保存顶点，vexnum是顶点数，edgnum是边数；matrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，matrix[i][j]=1，则表示"顶点i(即vexs[i])"和"顶点j(即vexs[j])"是邻接点；matrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。

EData是邻接矩阵边对应的结构体。

（5）算法实现

/article/4708233.html

3：普里姆(Prim)算法

（1）算法介绍

普里姆(Prim)算法，和克鲁斯卡尔算法一样，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

基本思想

对于图G而言，V是所有顶点的集合；现在，设置两个新的集合U和T，其中U用于存放G的最小生成树中的顶点，T存放G的最小生成树中的边。 从所有uЄU，vЄ(V-U) (V-U表示出去U的所有顶点)的边中选取权值最小的边(u, v)，将顶点v加入集合U中，将边(u, v)加入集合T中，如此不断重复，直到U=V为止，最小生成树构造完毕，这时集合T中包含了最小生成树中的所有边。

（2）图示





以上图G4为例，来对普里姆进行演示(从第一个顶点A开始通过普里姆算法生成最小生成树)。





初始状态：V是所有顶点的集合，即V={A,B,C,D,E,F,G}；U和T都是空！

第1步：将顶点A加入到U中。

此时，U={A}。

第2步：将顶点B加入到U中。

上一步操作之后，U={A}, V-U={B,C,D,E,F,G}；因此，边(A,B)的权值最小。将顶点B添加到U中；此时，U={A,B}。

第3步：将顶点F加入到U中。

上一步操作之后，U={A,B}, V-U={C,D,E,F,G}；因此，边(B,F)的权值最小。将顶点F添加到U中；此时，U={A,B,F}。

第4步：将顶点E加入到U中。

上一步操作之后，U={A,B,F}, V-U={C,D,E,G}；因此，边(F,E)的权值最小。将顶点E添加到U中；此时，U={A,B,F,E}。

第5步：将顶点D加入到U中。

上一步操作之后，U={A,B,F,E}, V-U={C,D,G}；因此，边(E,D)的权值最小。将顶点D添加到U中；此时，U={A,B,F,E,D}。

第6步：将顶点C加入到U中。

上一步操作之后，U={A,B,F,E,D}, V-U={C,G}；因此，边(D,C)的权值最小。将顶点C添加到U中；此时，U={A,B,F,E,D,C}。

第7步：将顶点G加入到U中。

上一步操作之后，U={A,B,F,E,D,C}, V-U={G}；因此，边(F,G)的权值最小。将顶点G添加到U中；此时，U=V。

此时，最小生成树构造完成！它包括的顶点依次是：A B F E D C G。

（3）基本定义

// 邻接矩阵
typedef struct _graph
{
char vexs[MAX];       // 顶点集合
int vexnum;           // 顶点数
int edgnum;           // 边数
int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵
}Graph, *PGraph;

// 边的结构体
typedef struct _EdgeData
{
char start; // 边的起点
char end;   // 边的终点
int weight; // 边的权重
}EData;

Graph是邻接矩阵对应的结构体。

vexs用于保存顶点，vexnum是顶点数，edgnum是边数；matrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，matrix[i][j]=1，则表示"顶点i(即vexs[i])"和"顶点j(即vexs[j])"是邻接点；matrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。

EData是邻接矩阵边对应的结构体。

（4）算法实现

/article/4708236.html

4：时间复杂度分析

对于克鲁斯卡尔(Kruskal)算法：时间复杂度为O(ElgV)

对于普里姆(Prim)算法：

其取决于最小优先队列Q的实现方式，时间复杂度与克鲁斯卡尔(Kruskal)算法相同，O(ElgV)。

如果使用斐波那契堆来实现最小优先队列，时间复杂度为O(E+VlgV)。