矩阵理论的一些基本概念

正交向量

若两个n维向量a和b满足



则称向量a和向量b正交

正交矩阵

若方正A满足



则称A为正交矩阵

行向量互相正交，列向量互相正交，正交单位向量；

正交变换

A为正交矩阵，若n维向量x和y满足



则称x到y的正交变换

一维向量正交变换内积（点积）不变

二维向量（图像）的正交变换，意味着旋转

例：让A为



那么图像x顺时针旋转θ得到图像y

行列式

代数余子式

A为n阶方阵，将元素aij所在的行和列删除，剩下的n-1阶矩阵的行列式，成为元素aij的代数余子式

矩阵的逆

若方阵满足|A|不等于0，则称A为非退化方阵，或可逆矩阵

若方阵|A|=0，则称A为退化方阵

若A为非退化方阵，方阵C满足AC=I，则称C为A的逆，记作A-1

矩阵的秩

一组同维向量a1，a2，...，an，若存在不全为零的常数c1，c2，...，cn，使得：



则称该组向量线性相关

矩阵A的线性无关行向量的最大数目成为行秩，线性无关列向量的最大数目称为列秩。行秩和列秩必须相等，成为A的秩序，表示为rank(A)

特征向量和特征值

A为n阶矩阵，x为n维非零向量，λ为实数，若



则称λ为A的特征值，x为A的特征向量



可求得λ及x；其中，I为单位矩阵。

另有概念谱分解、奇异值、奇异值分解

矩阵的迹

A为n阶方阵，则它对角线元素之和称为A的迹，记作tr(A)

正定矩阵

设A是p阶对称矩阵，x是一p维向量，则x′Ax称为A的二次型

若对一切x不等于0，有x′Ax>0，则称A为正定矩阵，记作A>0

若对一切x，有x′Ax≥0，则称A为非负定矩阵，记作A≥0