《数据结构与算法分析：C语言描述》复习——第十章“算法设计技巧”——跳表

2014.07.07 22:03

简介：

　　跳表（skip list）是一种随机化的有序数据结构。从形状上来看，长得比较像分层索引。能够在接近对数级别的时间内完成增、删、改、查操作。

　　你姑且可以认为这种数据结构的用途、用法都和平衡树很相似，但内部的实现原理则完全不同。

图示：

　　下面是一条有序的单链表：

　　


　　如果你要查找某一个整数，必然需要O(n)级别的时间去搜索链表。

　　但如果从这个链表抽取几个元素，然后在上面加上一层呢，比如这样：

　　


　　上面的双层链表的上层是通过从下层抽取一部分元素得到的。并且上下之间也存在指针链接，允许由上至下、由左至右的遍历。

　　这么做有什么用呢？我们先继续看看这个：

　　


　　我们可以像这样，从每一层选出部分元素，在正上方组成新的一层，这样就能够形成一个看起来不整齐的多层链表。

　　这个图形很不规则，我们来考虑一个规则的情况：如果这个多层链表恰好有5层，每层元素个数分别为1,2,4,8,16。那么查找任意一个元素是不是能够在对数时间内完成呢？

　　答案当然是可以。因为多层索引的代表结构——B+树就是这种形状规则而且有序的分层结构。稳定的对数级别的操作时间就是它们的最大优势。

　　

　　跳表使用另一种思维方式来构造一个类似的分层结构，但是因为包含了随机数而导致形状没那么“规则”，所以效率接近对数级别，但不稳定。

　　刚才我们的描述方式是一层一层地构建了这个多层链表，而正确的理解方式应该是——一个一个地插入节点。关键在于每个插入的节点有可能只插入一层，也有可能插入多层。

　　下面是一个空的跳表：

　　


　　其中begin表示一个实际的节点，尽管其中的数据没有意义，我们需要它的指针进行移动。end则可以用空指针NULL来代表，表示链表尾。

　　下面如果我们要插入一个整数34，并且插入的高度是3层，结果将是这样：

　　


　　如此一来有了3个34。接下来我们再插入5，插入1层：

　　


　　那么插入的规则是怎么定的呢？比如将元素x插入到第k层？

　　如果我们将最底层定义为1层，那么x元素将被插入到1~k的所有层中。

　　当你从跳表的左端顶部的begin节点出发时，在每一层你都只能至多向右或向下走一步。

　　由于每一层的链表都是有序的，所以插入元素时每一层的操作就和有序单链表的操作一样了。

　　于是我们从第k层开始插入，完成后下降到k-1层，逐层插入直到最底层。

　　下面我们再插入元素7，高度为2：

　　


　　那么，每个元素插入的高度怎么决定呢？随机定就行了。此处“随机”的方法，指的是抛硬币。

　　如果每次有50%的概率抛出正面，那么我们就一直抛硬币，抛出正面为止，看看到底要抛多少次。将抛硬币的次数作为高度（至少抛一次，所以高度至少为1）。

　　这样的随机方法严格服从于p=0.5的几何分布。因此期望高度为2，虽然偶尔也能出现很高的层数。

　　那么，这种多层的结构并不是严格的二分查找，为何它的基本操作的效率接近对数级呢？

　　　　1. 越是在高层，移动一步就能跨过越多的元素，步子越大速度越快

　　　　2. 分析一下几何分布的分布列，此处从概率上是符合二分规律的，因此“接近对数”是有理论支持的

　　

　　教材上对于跳表的评价是：一种平衡树的替代品，实现简便，效率不错。

　　亲自实现之后，发现跳表虽然也没那么简单，但的确比AVL树简单多了。也许我们基本不需要亲自写这些结构，但至少应该了解这种随机化的数据结构为何如此巧妙。

　　

　　在我的印象里，这本书的第十章尽管充满了精华知识，在我大二的数据结构课程里，老师却几乎只字未提。

　　就我们学校而言，计算机教育实在是囫囵吞枣。课程好几十门，没有一门深入过。难怪我现在复习这本教材几乎等于重新学习。

　　呵呵的是教育，惭愧的是自己。你区区一个本科生，既然什么都不会就别拽了。赶紧学习吧。

　　（跳表还可以进一步优化为确定性跳表，不过那部分我已经无力研究了，饶了我吧）

实现：

// My implementation for skip list.
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

template <class TKey>
struct ListNode {
TKey *key;
ListNode *down;
ListNode *next;

ListNode(): key(nullptr), down(nullptr), next(nullptr) {}
};

template <class TKey>
class SkipList {
public:
SkipList() {
m_root = new ListNode<TKey>();
m_size = 0;
m_level = 0;
}

bool contains(const TKey &key) {
if (m_size == 0) {
return false;
}

ListNode<TKey> *ptr = m_root;
while (true) {
if (ptr->next != nullptr) {
if (key < *(ptr->next->key)) {
if (ptr->down != nullptr) {
ptr = ptr->down;
} else {
return false;
}
} else if (key > *(ptr->next->key)) {
ptr = ptr->next;
} else {
return true;
}
} else {
if (ptr->down != nullptr) {
ptr = ptr->down;
} else {
return false;
}
}
}
}

void insert(const TKey &key) {
if (contains(key)) {
return;
}

ListNode<TKey> *ptr;
int new_level = _randomLevel();

if (new_level > m_level) {
// Extra levels need to be added.
for (int i = m_level; i < new_level; ++i) {
ptr = new ListNode<TKey>();
ptr->down = m_root;
m_root = ptr;
}
m_level = new_level;
}

int lvl = m_level;
ListNode<TKey> *last, *cur;

ptr = m_root;
last = cur = nullptr;
while (true) {
if (ptr->next != nullptr) {
if (key < *(ptr->next->key)) {
if (lvl <= new_level) {
cur = new ListNode<TKey>();
if (last == nullptr) {
cur->key = new TKey(key);
} else {
cur->key = last->key;
last->down = cur;
}
last = cur;
cur->next = ptr->next;
ptr->next = cur;
}

if (ptr->down != nullptr) {
ptr = ptr->down;
--lvl;
} else {
break;
}
} else if (key > *(ptr->next->key)) {
ptr = ptr->next;
} else {
break;
}
} else {
if (lvl <= new_level) {
cur = new ListNode<TKey>();
if (last == nullptr) {
cur->key = new TKey(key);
} else {
cur->key = last->key;
last->down = cur;
}
last = cur;
cur->next = ptr->next;
ptr->next = cur;
}

if (ptr->down != nullptr) {
ptr = ptr->down;
--lvl;
} else {
break;
}
}
}
++m_size;
}

void erase(const TKey &key) {
if (!contains(key)) {
return;
}

ListNode<TKey> *ptr = m_root;
ListNode<TKey> *cur;
while (true) {
if (ptr->next != nullptr) {
if (key < *(ptr->next->key)) {
if (ptr->down != nullptr) {
ptr = ptr->down;
} else {
break;
}
} else if (key > *(ptr->next->key)) {
ptr = ptr->next;
} else {
cur = ptr->next;
ptr->next = cur->next;
if (ptr->down != nullptr) {
delete cur;
ptr = ptr->down;
} else {
delete cur->key;
delete cur;
break;
}
}
} else {
if (ptr->down != nullptr) {
ptr = ptr->down;
} else {
break;
}
}
}
--m_size;

ptr = m_root;
while (ptr->next == nullptr) {
// Empty levels are removed.
if (ptr->down == nullptr) {
break;
} else {
m_root = m_root->down;
delete ptr;
ptr = m_root;
--m_level;
}
}
}

size_t size() {
return m_size;
}

void clear() {
_clearUp();

m_root = new ListNode<TKey>();
m_size = 0;
m_level = 0;
}

void debugPrint() {
ListNode<TKey> *p1, *p2;

cout << '{' << endl;
p1 = m_root;
while (p1 != nullptr) {
p2 = p1->next;
cout << "    ";
while (p2 != nullptr) {
cout << *(p2->key) << ' ';
p2 = p2->next;
}
cout << endl;
p1 = p1->down;
}
cout << '}' << endl;
}

~SkipList() {
_clearUp();
}
private:
int m_level;
int m_size;
ListNode<TKey> *m_root;

void _clearUp() {
ListNode<TKey> *head = m_root;
ListNode<TKey> *p1, *p2;

while (head != nullptr) {
p1 = head;
head = head->down;
while (p1 != nullptr) {
p2 = p1->next;
if (p1->key != nullptr && p1->down == nullptr) {
delete p1->key;
}
delete p1;
p1 = p2;
}
}
}

int _randomLevel() {
int level = 0;

while (rand() & 1) {
++level;
}

return level;
}
};

int main()
{
srand((unsigned int)time(nullptr));
string s;
SkipList<int> sl;
int key;

while (cin >> s) {
if (s == "i") {
cin >> key;
sl.insert(key);
}  else if (s == "c") {
cin >> key;
cout << (sl.contains(key) ? "Yes" : "No") << endl;
} else if (s == "e") {
cin >> key;
sl.erase(key);
} else if (s == "cl") {
sl.clear();
}
sl.debugPrint();
}
sl.clear();

return 0;
}