leetcode 69 Sqrt(x)

Implement

int sqrt(int x)

.

Compute and return the square root of x.

方法1：投机取巧，采用下面的方法居然能过。

int sqrt(int x)
{
	return std::sqrt(x);
}

方法2：二分法。主要要考虑当end*end超出整数范围时，怎么进行处理，这个地方很关键。

int sqrt(int x)
{
	int start=0,end;
	end=x/2<std::sqrt(INT_MAX)?x/2+1:std::sqrt(INT_MAX);//这里用到了库函数，感觉不是很好
	while(start<=end)//接下来就是典型的二分了
	{
		int mid=(start+end)/2;
		int sqr=mid*mid;
		if(sqr==x)
		{
			return mid;
		}else if(sqr>x)
			end=mid-1;
		else
			start=mid+1;
	}
	return (start+end)/2;//注意返回值
}

方法3：

求出根号a的近似值：首先随便猜一个近似值x，然后不断令x等于x和a/x的平均数，迭代个六七次后x的值就已经相当精确了。

例如，我想求根号2等于多少。假如我猜测的结果为4，虽然错的离谱，但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号2了：

( 4 + 2/4 ) / 2 = 2.25

( 2.25 + 2/2.25 ) / 2 = 1.56944..

( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..

( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..

....


这种算法的原理很简单，我们仅仅是不断用(x,f(x))的切线来逼近方程x^2-a=0的根。根号a实际上就是x^2-a=0的一个正实根，这个函数的导数是2x。也就是说，函数上任一点(x,f(x))处的切线斜率是2x。那么，x-f(x)/(2x)就是一个比x更接近的近似值。代入 f(x)=x^2-a得到x-(x^2-a)/(2x)，也就是(x+a/x)/2。

const double EPS=0.000000001;
int sqrt(int x)
{
	if(x==0)
		return x;
	double dividend=x;
	double val=x;
	double last;
	do
	{
		last=val;//上次的切点横坐标
		val=(val+dividend/val)/2;//下一个切点的横坐标
	}while(fabs(last-val)>EPS);//两次横坐标差值趋近于零时迭代收敛
	int res=val;
	if(res*res>x)//防止迭代溢出
		res--;
	return res;
}