数论整理

本文的目的是为了让自己记住一些常用的数论，无献丑之意。

1、欧拉函数：

phi 函数，用于求小于i 并与 i 互质的个数。phi(x)=x*∏{ t | x }（1-1/t）。

2、欧拉定理：

欧拉定理，也称费马-欧拉定理。

若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则

a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

证明：

设x（1），x（2），...，x(φ(n))是一个以n为模的简系，则ax（1），ax（2），...，ax（φ(n) ）也是一个以n为模的简系（因为（a，n）=1）。

于是有ax（1）ax（2）...ax（φ(n) ）≡x（1）x（2）...x(φ(n))（mod n），

所以a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。

证毕。

3、威尔逊定理：若p为质数，则p可整除(p-1)!+1。

4、费马小定理：

假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p） 。

假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

证明：因为p是质数，且（a，p)=1，所以φ(p)=p-1。由欧拉定理可得a^(p-1) ≡1（mod p）。证毕。对于该式又有a^p ≡a（mod p），所以，费马小定理的另一种表述为：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a^p
≡a（mod p）。

5、哥德巴赫猜想：任何一个大于5的数都可以写成三个质数之和。