rqnoj 456 低价购买

题目描述
“低价购买”这条建议是在奶牛股票市场取得成功的一半规则。要想被认为是伟大的投资者，你必须遵循以下的问题建议:“低价购买；再低价购买”。每次你购买一支股票,你必须用低于你上次购买它的价格购买它。买的次数越多越好!你的目标是在遵循以上建议的前提下，求你最多能购买股票的次数。你将被给出一段时间内一支股票每天的出售价(2^16范围内的正整数)，你可以选择在哪些天购买这支股票。每次购买都必须遵循“低价购买；再低价购买”的原则。写一个程序计算最大购买次数。

这里是某支股票的价格清单：

日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

价格 68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87

最优秀的投资者可以购买最多4次股票，可行方案中的一种是：

日期 2 5 6 10

价格 69 68 64 62

数据规模

对于100%的数据，1 <= N <= 5000。

输入格式
第1行: N，股票发行天数。

第2行: N个数，是每天的股票价格。

输出格式
输出仅一行包含两个数:最大购买次数和拥有最大购买次数的方案数(<=2^31)当二种方案“看起来一样”时（就是说它们构成的价格队列一样的时候）,这2种方案被认为是相同的。

输入样例

12

68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87

输出样例

4 2

解析

本题第一问求最长下降子序列很简单。关键是第二问统计方案。可以先放宽题目条件，不管方案是否相同都进行统计。即输出最大购买次数和拥有最大购买次数的方案数，而不管是否它们构成的价格队列一样。现在考虑的问题是如何进行方案统计。先给出代码再解释。

#include<cstdio>
using namespace std;
//f[i]以i结尾的最长下降子序列
//solution以i结尾的方案数
int n,price[5010],f[5010],solution[5010];

void readdata()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
f[i]=1;solution[i]=0;
scanf("%d",&price[i]);
}
}

void work()
{
//找最长上升子序列
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<i;j++)
if( (price[j]>price[i])&&(f[j]+1>f[i]) )
f[i]=f[j]+1;

//特殊处理f[i]==1的情况
for(int i=1;i<=n;i++)
if(f[i]==1)	solution[i]=1;
//方案统计
for(int i=2;i<=n;i++)
for(int j=i-1;j>=1;j--)
{
if( (price[j]>price[i])&&(f[j]+1==f[i]) ) solution[i]+=solution[j];
}
}

void write()
{
int max=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(max<f[i]) max=f[i];
printf("%d",max);

int sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(max==f[i]) sum+=solution[i];
printf(" %d",sum);
}

int main()
{

readdata();
work();
write();

return 0;
}

正如我们在第29行代码看到的。

solution[i]是以第i天结尾的最长下降子序列的方案数，solution[i]=sum(solution[j])（所有以第j天结尾的最长下降子序列的方案数之和），其中j要满足条件：1.price[j]>price[i] 2.f[j]+1==f[i] 这样的j才能保证第j天是以第i天结尾的最长下降子序列的倒数第二天。P.S.这里写成for(int j=1;j<i;j++)也是一样的。

还有一点需要注意的是对于f[i]==1的要将solution[i]=1特殊处理。因为第i天的前面没有比第i天更高的价格了，所以从第i天它自己开始就是一种方案。

现在加上条件：二种方案“看起来一样”时（就是说它们构成的价格队列一样的时候）,这2种方案被认为是相同的。

事实1：当price[a]==price[b]时，时间越靠后solution越大。

为了排除“看起来一样”的情况，我们只要累加solution的时候不加时间靠前的就可以了。

事实2：对于那些满足f[j]+1=f[i]的那些j一定有：随着j（时间）的增加price[j]不严格单调递增。证明：如果后面的price更小，那么后者的f（最长下降子序列）肯定会比前者长。两者的f肯定也不会相等。

然而根据事实1，我们必须保证不出现相等的price，且同样的price只取后面的那个。综合事实1和事实2来看，我们只用保证每次参solution累加的j，它们的price[j]是严格的单增数列。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
//f[i]以i结尾的最长下降子序列
//solution以i结尾的方案数
int n,price[5010],f[5010],solution[5010],next[5010];

void readdata()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
f[i]=1;solution[i]=0;
scanf("%d",&price[i]);
}

memset(next,sizeof(next),0);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i-1;j>0;j--)
if(price[j]==price[i])
{
next[j]=i;
break;
}
}

void work()
{
//找最长上升子序列
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<i;j++)
if( (price[j]>price[i])&&(f[j]+1>f[i]) )
f[i]=f[j]+1;

//特殊处理f[i]==1的情况
for(int i=1;i<=n;i++)
if(f[i]==1)	solution[i]=1;

for(int i=2;i<=n;i++)
{
int t=1<<30;
for(int j=i-1;j>=1;j--)
{
if( (t>price[j]) && (price[j]>price[i]) && (f[j]+1==f[i]) )
{
t=price[j];
solution[i]+=solution[j];
}
}
}
}

void write()
{
/*
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",solution[i]);
printf("\n");
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",f[i]);
printf("\n");
*/
int max=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(max<f[i])max=f[i];

printf("%d",max);

int sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
if( (max==f[i]) && (next[i]==0) ) sum+=solution[i];
printf(" %d",sum);

}

int main()
{

readdata();
work();
write();

return 0;
}

关于next数组：

本来我是想用如下方法输出，可是第9个点过不了……我也不晓得为啥，求科普

void write()
{
int max=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(max<f[i])max=f[i];

printf("%d",max);

int sum=0,t=-0x3f3f3f3f;
for(int i=1;i<=n;i++)
if( (max==f[i]) && (t<price[i]) )
{
t=price[i];
sum+=solution[i];
}
printf(" %d",sum);

}

另外提供一种思路：在末尾加一个边界，第n+1天的股价为-0x3f3f3f3f 。输出最长下降子序列的时候减1，solution直接输solution[n+1]（不过这个方法我没测过，应该是对的吧）

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
//f[i]以i结尾的最长下降子序列
//solution以i结尾的方案数
int n,price[5010],f[5010],solution[5010],next[5010];

void readdata()
{
memset(solution,0,sizeof(solution));
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
f[i]=1;
scanf("%d",&price[i]);
}
f[n+1]=1;price[n+1]=-0x3f3f3f3f;
}

void work()
{
//找最长上升子序列
for(int i=1;i<=n+1;i++)
for(int j=1;j<i;j++)
if( (price[j]>price[i])&&(f[j]+1>f[i]) )
f[i]=f[j]+1;

//特殊处理f[i]==1的情况
for(int i=1;i<=n+1;i++)
if(f[i]==1)	solution[i]=1;

for(int i=2;i<=n+1;i++)
{
int t=1<<30;
for(int j=i-1;j>=1;j--)
{
if( (t>price[j]) && (price[j]>price[i]) && (f[j]+1==f[i]) )
{
t=price[j];
solution[i]+=solution[j];
}
}
}
}

void write()
{
printf("%d %d",f[n+1]-1,solution[n+1]);
}

int main()
{
freopen("456.in","r",stdin);
freopen("456.out","w",stdout);

readdata();
work();
write();

return 0;
}