五大常用算法之贪心算法

看了五大常用算法之一这篇博文，感觉理解了很多，可是纯粹都是理论，缺少一些示例，所以准备综合一篇博文，以帮助自己记忆，原文：

http://www.cnblogs.com/steven_oyj/archive/2010/05/22/1741375.html

一、基本概念：



所谓贪心算法是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的仅是在某种意义上的局部最优解。

贪心算法没有固定的算法框架，算法设计的关键是贪心策略的选择。必须注意的是，贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。

所以对所采用的贪心策略一定要仔细分析其是否满足无后效性。

二、贪心算法的基本思路：

1.建立数学模型来描述问题。

2.把求解的问题分成若干个子问题。

3.对每一子问题求解，得到子问题的局部最优解。

4.把子问题的解局部最优解合成原来解问题的一个解。

三、贪心算法适用的问题

贪心策略适用的前提是：局部最优策略能导致产生全局最优解。

实际上，贪心算法适用的情况很少。一般，对一个问题分析是否适用于贪心算法，可以先选择该问题下的几个实际数据进行分析，就可做出判断。

四、贪心算法的实现框架

从问题的某一初始解出发；

while （能朝给定总目标前进一步）

{

利用可行的决策，求出可行解的一个解元素；

}

由所有解元素组合成问题的一个可行解；

五、示例

（1）背包问题：

与0-1背包问题类似，所不同的是在选择物品i装入背包时，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入背包，1 <= i <= n。

这2类问题都具有最优子结构性质，极为相似，但背包问题可以用贪心算法求解，而0-1背包问题却不能用贪心算法求解。

用贪心算法解背包问题的基本步骤：

首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总重量未超过C，则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。依此策略一直地进行下去，直到背包装满为止。

伪代码：

void Knapsack(int n,float M,float v[],float w[],float x[])

{

　　Sort(n,v,w);

　　int i;

　　for (i = 1 ; i <= n ; i++)

　　　　x[i] = 0;

　　　　float c=M;

　　　　for (i=1;i<=n;i++) {

　　　　　　if (w[i] > c) break;

　　　　x[i]=1;

　　　　c-=w[i];

　　}

　　if (i <= n)

　　　　x[i]=c / w[i];

}

算法knapsack的主要计算时间在于将各种物品依其单位重量的价值从大到小排序。因此，算法的计算时间上界为 O（nlogn）。

为了证明算法的正确性，还必须证明背包问题具有贪心选择性质。

对于0-1背包问题，贪心选择之所以不能得到最优解是因为在这种情况下，它无法保证最终能将背包装满，部分闲置的背包空间使每公斤背包空间的价值降低了。事实上，在考虑0-1背包问题时，应比较选择该物品和不选择该物品所导致的最终方案，然后再作出最好选择。由此就导出许多互相重叠的子问题。这正是该问题可用动态规划算法求解的另一重要特征。实际上也是如此，动态规划算法的确可以有效地解0-1背包问题。
（2）哈夫曼算法

代码

/* 主题: Haffman编码
* 作者: chinazhangjie
* 邮箱: chinajiezhang@gmail.com
* 开发环境 : Microsoft Visual Studio 2008
* 时间 : 2010.11.21
*/

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue> 
using namespace std ;

class HaffmanNode
{
public:
    HaffmanNode (int nKeyValue, 
                HaffmanNode* pLeft = NULL,
                HaffmanNode* pRight = NULL)
    { 
        m_nKeyValue = nKeyValue ;
        m_pLeft = pLeft ;
        m_pRight = pRight ;
    }

    friend 
    bool operator < (const HaffmanNode& lth, const HaffmanNode& rth)
    {
        return lth.m_nKeyValue < rth.m_nKeyValue ;
    }

public:
    int        m_nKeyValue ;    
    HaffmanNode*    m_pLeft ;
    HaffmanNode*    m_pRight ;
} ;

class HaffmanCoding
{
public:
    typedef priority_queue<HaffmanNode*> MinHeap ;
    typedef HaffmanNode*    HaffmanTree ;

public:
    HaffmanCoding (const vector<int>& weight) 
        : m_pTree(NULL)
    {
        m_stCount = weight.size () ;
        for (size_t i = 0; i < weight.size() ; ++ i) {
            m_minheap.push (new HaffmanNode(weight[i], NULL, NULL)) ;
        }
    }
    ~ HaffmanCoding()
    {
        __destroy (m_pTree) ;
    }

    // 按照左1右0编码 
    void doHaffmanCoding ()
    {
        vector<int> vnCode(m_stCount-1) ;
        __constructTree () ;
        __traverse (m_pTree, 0, vnCode) ;
    }
    
private:
    void __destroy(HaffmanTree& ht) 
    {
        if (ht->m_pLeft != NULL) {
            __destroy (ht->m_pLeft) ;
        }
        if (ht->m_pRight != NULL) {
            __destroy (ht->m_pRight) ;
        }
        if (ht->m_pLeft == NULL && ht->m_pRight == NULL) {
            // cout << "delete" << endl ;
            delete ht ;
            ht = NULL ;
        }
    }
    void __traverse (HaffmanTree ht,int layers, vector<int>& vnCode) 
    {
        if (ht->m_pLeft != NULL) {
            vnCode[layers] = 1 ;
            __traverse (ht->m_pLeft, ++ layers, vnCode) ;
            -- layers ;
        }
        if (ht->m_pRight != NULL) {
            vnCode[layers] = 0 ;
            __traverse (ht->m_pRight, ++ layers, vnCode) ;
            -- layers ;
        }
        if (ht->m_pLeft == NULL && ht->m_pRight == NULL) {
            cout << ht->m_nKeyValue << " coding:  " ;
            for (int i = 0; i < layers; ++ i) {
                 cout << vnCode[i] << " " ;
            }
            cout << endl ;
        }
    }

    void __constructTree ()
    {
        size_t i = 1 ;
        while (i < m_stCount) {
            HaffmanNode* lchild = m_minheap.top () ;
            m_minheap.pop () ;
            HaffmanNode* rchild = m_minheap.top () ;
            m_minheap.pop () ;
            
            // 确保左子树的键值大于有子树的键值
            if (lchild->m_nKeyValue < rchild->m_nKeyValue) {
                HaffmanNode* temp = lchild ;
                lchild = rchild ;
                rchild = temp ;
            }
            // 构造新结点
            HaffmanNode* pNewNode = 
                new HaffmanNode (lchild->m_nKeyValue + rchild->m_nKeyValue,
                lchild, rchild ) ;
            m_minheap.push (pNewNode) ;
            ++ i ;
        }
        m_pTree = m_minheap.top () ;
        m_minheap.pop () ;
    }

private:
    vector<int> m_vnWeight ;    // 权值
    HaffmanTree m_pTree ;
    MinHeap        m_minheap ;
    size_t        m_stCount ;        // 叶结点个数
} ;

int main()
{    
    vector<int> vnWeight ;
    vnWeight.push_back (45) ;
    vnWeight.push_back (13) ;
    vnWeight.push_back (12) ;
    vnWeight.push_back (16) ;
    vnWeight.push_back (9) ;
    vnWeight.push_back (5) ;

    HaffmanCoding hc (vnWeight) ;
    hc.doHaffmanCoding () ;
    return 0 ;
}