用于不相交集合的数据操作——并查集

假定有一组词汇，其中有一些词是同义词，可以把意思不同的词分别放到不同的集合中，构成一组不相交的集合，每个集合内部都是同义词。最开始我们不知到哪些词可以归并到相同的组中，因此开始的时候它们每个词为一组。然后我们再一一给出哪些词是同义词，据此将初始的组进行合并……直到最后同义词都被合并到各自应该归属的组里面。

讲的简单点，假定这些单词是一个个的整数，他们构成了一组不相交的动态集合 S={S1,S2,⋯,Sk}，，每个集合可能包含一个或多个元素，并选出集合中的某个元素作为代表。每个集合中具体包含了哪些元素是不关心的，具体选择哪个元素作为代表一般也是不关心的。我们关心的是，对于给定的元素，可以很快的找到这个元素所在的集合（的代表），以及合并两个元素所在的集合，而且这些操作的时间复杂度都是常数级的。

这就是并查集的问题，并查集的基本操作有三个：

makeSet(s)：建立一个新的并查集，其中包含 s 个单元素集合。
unionSet(x, y)：把元素 x 和元素 y 所在的集合合并，要求 x 和 y 所在的集合不相交，如果相交则不合并。
find(x)：找到元素 x 所在的集合的代表，该操作也可以用于判断两个元素是否位于同一个集合，只要将它们各自的代表比较一下就可以了。

1.并查集的森林表示

并查集的实现原理也比较简单，就是使用树来表示集合，树的每个节点就表示集合中的一个元素，树根对应的元素就是该集合的代表，如图 1 所示。



图 1 并查集的树表示
图中有两棵树，分别对应两个集合，其中第一个集合为 {a,b,c,d}，代表元素是a；第二个集合为{e,f,g}，代表元素是e。

树的节点表示集合中的元素，指针表示指向父节点的指针，根节点的指针指向自己，表示其没有父节点。沿着每个节点的父节点不断向上查找，最终就可以找到该树的根节点，即该集合的代表元素。

2.构造并查集并初始化

现在，假设使用一个足够大的的连续空间来存储树节点，那么 makeSet 要做的就是构造出如图 2 的森林，其中每个元素都是一个单元素集合，即父节点是其自身：



图 2 构造并查集初始化
3.并查集的find操作

接下来，就是 find 操作了，如果每次都沿着父节点向上查找，那时间复杂度就是树的高度，完全不可能达到常数级。这里需要应用一种非常简单而有效的策略——路径压缩。路径压缩，就是在每次查找时，令查找路径上的每个节点都直接指向根节点，如图 3 所示。



图 3 路径压缩
4.并查集的合并操作

最后是合并操作 unionSet，并查集的合并也非常简单，就是将一个集合的树根指向另一个集合的树根，如图 4 所示。



图 4 并查集的合并
这里也可以应用一个简单的启发式策略——按秩合并。该方法使用秩来表示树高度的上界，在合并时，总是将具有较小秩的树根指向具有较大秩的树根。简单的说，就是总是将比较矮的树作为子树，添加到较高的树中。为了保存秩，需要为节点增加一个成员rank，并将其值初始化为 0。（树的秩：从树的根节点x到某一后代叶节点的最长简单路径上边的数目）

5.源代码

#include <ctime>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <iomanip>

using namespace std;

const int MAX = 20;	//节点总数
const int NUM = 50;	//操作次数

//节点定义
class Node{
public:
int num;		//节点编号，可以用来代表单词
int son_num;		//该节点的孩子数量，代表本单词同义词家族单词数目
int rank;		//节点所在树的秩
Node *father;		//该节点家族的代表词汇
public:
Node() : num(0), son_num(1){
father = NULL;
}

};

//并查集类操作定义
class UF{
public:
Node *s;		//指向节点队列的指针，用于分配和释放内存
public:
UF();
~UF();
Node* find(Node *r);	//查找本家族的代表词汇
void unit(Node *x, Node *y);	//合并家族词汇
void print();		//打印所有的节点信息
};

//构造函数，批量申请内存并初始化
UF::UF(){
s = new Node[MAX]();
for(Node *p = s ; p < s + MAX; p++){
p -> num = p - s;
p -> son_num = 1;
p -> father = p;
p -> rank = 0;
}
}

//析构函数，释放空间
UF::~UF(){
delete [] s;
s = NULL;
}

//查找本家族代表单词
Node* UF::find(Node *r){
if(r == r -> father){
return r;
} else {
r -> father = find(r -> father);
return r -> father;
}
}

//合并两个家族
void UF::unit(Node *x, Node *y){
Node *x_parent = find(x);
Node *y_parent = find(y);
if(x_parent != y_parent){
if(x_parent -> rank > y_parent -> rank){
y_parent -> father = x_parent;
x_parent -> son_num += y_parent -> son_num;
} else {
x_parent -> father = y_parent;
y_parent -> son_num += x_parent -> son_num;
if(x_parent -> rank == y_parent -> rank){
y_parent -> rank += 1;
}
}
}
}

//打印所有节点的信息，以供参考（当MAX大于20时建议不要用该函数）
void UF::print(){
cout << "序号：";
for(Node* p = s; p < s + MAX; p++){
cout << right << setw(3) << p -> num;
}
cout << endl;
cout << "祖先：";
for(Node* p = s; p < s + MAX; p++){
cout << right << setw(3) << p -> father -> num;
}
cout << endl;
cout << "大小：";
for(Node* p = s; p < s + MAX; p++){
cout << right << setw(3) << p -> son_num;
}
cout << endl;
cout << "秩：  ";
for(Node* p = s; p < s + MAX; p++){
cout << right << setw(3) << p -> rank;
}
cout << endl;
}

//测试函数
int main(){
UF uf;
for(int i = 0; i < NUM; i++){
int a = rand()%MAX;
int b = rand()%MAX;
uf.unit(uf.s + a, uf.s + b);
cout << "第" << i << "次操作，a = " << a << " b = " << b << endl;
uf.print();
cout << endl;
}
}