2432: [Noi2011]兔农 - BZOJ

Description

农夫栋栋近年收入不景气，正在他发愁如何能多赚点钱时，他听到隔壁的小朋友在讨论兔子繁殖的问题。

问题是这样的：第一个月初有一对刚出生的小兔子，经过两个月长大后，这对兔子从第三个月开始，每个月初生一对小兔子。新出生的小兔子生长两个月后又能每个月生出一对小兔子。问第n个月有多少只兔子？

聪明的你可能已经发现，第n个月的兔子数正好是第n个Fibonacci(斐波那契)数。栋栋不懂什么是Fibonacci数，但他也发现了规律：第i+2个月的兔子数等于第i个月的兔子数加上第i+1个月的兔子数。前几个月的兔子数依次为：

1 1 2 3 5 8 13 21 34 …

栋栋发现越到后面兔子数增长的越快，期待养兔子一定能赚大钱，于是栋栋在第一个月初买了一对小兔子开始饲养。

每天，栋栋都要给兔子们喂食，兔子们吃食时非常特别，总是每k对兔子围成一圈，最后剩下的不足k对的围成一圈，由于兔子特别害怕孤独，从第三个月开始，如果吃食时围成某一个圈的只有一对兔子，这对兔子就会很快死掉。

我们假设死去的总是刚出生的兔子，那么每个月的兔子数仍然是可以计算的。例如，当k=7时，前几个月的兔子数依次为：

1 1 2 3 5 7 12 19 31 49 80 …

给定n，你能帮助栋栋计算第n个月他有多少对兔子么？由于答案可能非常大，你只需要告诉栋栋第n个月的兔子对数除p的余数即可。
Input

输入一行，包含三个正整数n, k, p。
Output

输出一行，包含一个整数，表示栋栋第n个月的兔子对数除p的余数。
Sample Input

6 7 100

Sample Output

7
HINT

1<=N<=10^18

2<=K<=10^6

2<=P<=10^9

简单题解：斐波那契数列在mod k的意义下有循环节，长度在6*k之内

我们要求的数列mod k之后是这样的1，1，2，3....a，0，1*a，1*a，2*a .... b，0，1*b 2*b ... 0

1 a b...这个数列也是有循环节的（可以通过求逆元求出这个数列），这个循环节长度在k以内（可能没有循环，后面mod k都不为1），然后加上矩阵快速幂即可

详细题解：斐波那契数列在mod k的意义下有循环节，长度在6*k之内

因为*/%……@%@￥%@￥#%…*&！@￥@￥%&*/@%

你们还是看VFK的吧

const
maxk=1001000;
type
matrix=array[1..3,1..3]of int64;
var
a:array[0..maxk*6]of longint;
first,last,b,len:array[0..maxk]of longint;
pre:array[0..maxk]of longint;
n,k,p,x,y:int64;
ans,aa,bb:matrix;

procedure exgcd(a,b:int64);
var
t:int64;
begin
if b=0 then
begin
if a=1 then x:=1
else x:=0;
y:=0;
exit;
end;
exgcd(b,a mod b);
t:=x;
x:=y;
y:=t-(a div b)*y;
end;

procedure work;
var
i:longint;
begin
a[1]:=1;a[2]:=1;i:=2;
while true do
begin
inc(i);
a[i]:=(a[i-1]+a[i-2])mod k;
if first[a[i]]=0 then first[a[i]]:=i;
if (a[i]=1) and (a[i-1]=1) then break;
end;
for i:=1 to k-1 do
begin
exgcd(i,k);
pre[i]:=(x mod k+k)mod k;
end;
b[1]:=1;last[1]:=1;i:=1;
while true do
begin
len[i]:=first[pre[b[i]]]-1;
if len[i]<0 then break;
inc(i);
b[i]:=int64(a[len[i-1]])*b[i-1]mod k;
if last[b[i]]>0 then break;
last[b[i]]:=i;
end;
aa[1,2]:=1;aa[2,1]:=1;aa[2,2]:=1;aa[3,3]:=1;
bb:=aa;bb[3,2]:=p-1;
end;

operator *(a,b:matrix)c:matrix;
var
i,j,k:longint;
begin
fillchar(c,sizeof(c),0);
for i:=1 to 3 do
for j:=1 to 3 do
for k:=1 to 3 do
c[i,k]:=(c[i,k]+a[i,j]*b[j,k])mod p;
end;

function f(a:matrix;n:int64):matrix;
begin
fillchar(f,sizeof(f),0);
f[1,1]:=1;f[2,2]:=1;f[3,3]:=1;
while n>0 do
begin
if n and 1=1 then f:=f*a;
a:=a*a;
n:=n>>1;
end;
end;

procedure main;
var
i,j:longint;
s:matrix;
sum:int64;
begin
read(n,k,p);
if n<3 then
begin
writeln(1);
exit;
end;
work;
ans[1,1]:=1;ans[2,2]:=1;ans[3,3]:=1;
if n>len[1] then
begin
dec(n,len[1]+1);
ans:=ans*f(aa,len[1]-2)*bb;
end
else
begin
ans:=ans*f(aa,n-2);
n:=0;
end;
i:=2;
while n>0 do
begin
if pre[b[i]]=0 then
begin
ans:=ans*f(aa,n);
n:=0;
break;
end;
if len[i]<0 then
begin
ans:=ans*f(aa,n);
n:=0;
break;
end;
if last[b[i]]<i then break;
if n>len[i] then
begin
dec(n,len[i]+1);
ans:=ans*f(aa,len[i])*bb;
end
else
begin
ans:=ans*f(aa,n);
n:=0;
end;
inc(i);
end;
if n=0 then
begin
writeln((ans[1,2]+ans[2,2]+ans[3,2])mod p);
exit;
end;
j:=i;
sum:=0;
fillchar(s,sizeof(s),0);
s[1,1]:=1;s[2,2]:=1;s[3,3]:=1;
for i:=last[b[j]] to j-1 do
begin
inc(sum,len[i]+1);
s:=s*f(aa,len[i])*bb;
end;
ans:=ans*f(s,n div sum);
n:=n mod sum;
i:=last[b[j]];
while n>0 do
begin
if n>len[i] then
begin
ans:=ans*f(aa,len[i])*bb;
dec(n,len[i]+1);
end
else
begin
ans:=ans*f(aa,n);
n:=0;
end;
inc(i);
end;
writeln((ans[1,2]+ans[2,2]+ans[3,2])mod p);
end;

begin
main;
end.

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