1.7 逆序数与归并排序[inversion pairs by merge sort]

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【题目】

编程之美1.7光影切割问题可以进一步将问题转化为求逆序数问题。

【分析】

求解逆序对问题与MergeSort类似，只需要对MergeSort稍作修改即可实现。MergeSort是采用分治法的思想，若需要排序A[p...r]，则可以对半分成A[p...q]和A[q...r]，然后将这有序的两部分Merge，而Merge的过程为Θ(n)的时间复杂度。根据主定率T(n)=2(Tn/2)+Θ(n)，时间复杂度为T(n)=Θ(nlgn)。

同理，求整个序列中的逆序对，也可以利用分治法的思想，即

逆序对(A[p...r]）= 逆序对(A[p...q])+逆序对(A[q...r])+逆序对(A[p...q], A[q...r]之间）。

结合MergeSort，关键是如何在Θ(n)的时间有效的求出A[p...q], A[q...r]之间的逆序对。因为在合并排序的Merge过程中，A[p...q]和A[q...r]已经有序，假设此时已经Merge到A[i...q]和A[j...r]。考虑接下来的一步：如果A[i]<=A[j],说明A[i]比后面的序列A[j...r]中的元素都小，不存在逆序对；如果A[i]>A[j],，则说明A[j]比前面的序列A[i...q]都小，即以j结尾的逆序对的数量为前面的序列剩余序列A[i...q]中元素的数量。

Merge的过程中即可得到A[p...r], A[r...q]之间的逆序对的数量，时间复杂度亦为Θ(n), 由主定律总的时间复杂为 Θ(nlgn)，这种方法要比朴素的方法 Θ(n*n)好很多。

【MergeSort】

C++ Code

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/* version: 1.0 author: hellogiser blog: http://www.cnblogs.com/hellogiser date: 2014/6/25 */ void merge(int *A, int p, int q, int r) { //Li: p...q Rj: q+1...r int n1 = q - p + 1; int n2 = r - (q + 1) + 1; int *L = new int[n1 + 1]; int *R = new int[n2 + 1]; // copy L and R for (int i = 0; i < n1; i++) L[i] = A[p + i]; for (int j = 0; j < n2; j++) R[i] = A[q + 1 + j]; // mark end L[n1] = INT_MAX; R[n2] = INT_MAX; int i = 0; // left int j = 0; // right int k = 0; // whole for (k = p; k <= r; k++) { if (L[i] <= R[j]) { A[k] = L[i]; i++; } else { // L[i]>R[j] A[k] = R[j]; j++; } } delete []L; delete []R; } void merge_sort(int *A, int p, int r) { if (p < r) { int q = (p + r) / 2; merge_sort(A, p, q); merge_sort(A, q + 1, r); merge(A, p, q, r); } } void MergeSort(int *A, int n) { merge_sort(A, 0, n - 1); }

[InversionPair]

inversionPair只需要在merge函数中增加3行代码记录即可。先将inversion_pairs初始化为0，当L[i]>R[j]时，更新inversion_pairs=inversion_pairs+（n1-i）,最后返回即可。同时在merge_sort中返回left_pair，right_pair和corss_pair之和即可。

C++ Code

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/* version: 1.0 author: hellogiser blog: http://www.cnblogs.com/hellogiser date: 2014/6/25 */ int merge_pair(int *A, int p, int q, int r) { //Li: p...q Rj: q+1...r int n1 = q - p + 1; int n2 = r - (q + 1) + 1; int *L = new int[n1 + 1]; int *R = new int[n2 + 1]; // copy L and R for (int i = 0; i < n1; i++) L[i] = A[p + i]; for (int j = 0; j < n2; j++) R[i] = A[q + 1 + j]; // mark end L[n1] = INT_MAX; R[n2] = INT_MAX; int i = 0; // left int j = 0; // right int k = 0; // whole //============================ int inversion_pairs = 0; //============================ for (k = p; k <= r; k++) { if (L[i] <= R[j]) { A[k] = L[i]; i++; } else { // L[i]>R[j] A[k] = R[j]; j++; //============================ inversion_pairs += (n1 - i); //============================ } } delete []L; delete []R; //============================ return inversion_pairs; //============================ } int inversion_pair(int *A, int p, int r) { if (p < r) { int q = (p + r) / 2; //====================================== int left_pair = inversion_pair(A, p, q); int right_pair = inversion_pair(A, q + 1, r); int cross_pair = merge_pair(A, p, q, r); return left_pair + right_pair + cross_pair; //====================================== } else return 0; } int InversionPair(int *A, int n) { return inversion_pair(A, 0, n - 1); }

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