01背包问题【动态规划】

问题：

假设有n个物品，每个物品都是有重量的，同时每个物品也是有价值的，要求把这些物品放到一个背包中，这个背包的载重量是有限制的，怎么使得背包里面的物品总价值最大？

符号表示：

N：物品个数

W：背包载重量

w[i]：物品i的重量（1<i<=N）

v[i]：物品i的价值（1<i<=N）

c[i, j]：到物品i为止，背包重量限制为j的最优解（1<i<=N, 1<j<=W）

分析：

最优解结构：对于物品i，只有两种情况，放入或不放入。假设物品i放入了是最优解的一部分，那么我们这时候拿掉物品i，c[i-1, j-w[i]]也应该是最优解
递归定义最优解的值：



按自底向上的方式计算最优值：双重循环，i从1到N循环，j从1到W循环
由计算出的结果构造一个最优解：自顶向下，i从N到1循环，如果c[i,j]>c[i-1,j]，则物品i放入背包，否则反之。

代码（c++）：

#ifndef ___1package__package__
#define ___1package__package__

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;

class Package{
public:
void init(string dataSource);
void print();
private:
void compute();
int m_nN;  // The number of object
int m_nW;  // The max weight of package
vector<int> m_vecWeight;  // The weight of object
vector<int> m_vecValue;   // The value of object
vector<vector<int> > m_vecMatrix;  // The results matrix

};

#endif /* defined(___1package__package__) */

//
//  package.cpp
//  01package

#include "package.h"
#include <fstream>

void Package::init(string dataSource){
// read data from datasource
ifstream file;
file.open(dataSource);
if (file.is_open()){
string buffer;
file>>m_nW;
file>>m_nN;
m_vecWeight.clear();
m_vecWeight.push_back(0);
m_vecValue.clear();
m_vecValue.push_back(0);
int w, v;
for (int i=0; i<m_nN; ++i) {
file>>w>>v;
m_vecWeight.push_back(w);
m_vecValue.push_back(v);
}
while(!file.eof()){
file>>buffer;
cout<<buffer<<endl;
}
}
file.close();

m_vecMatrix.clear();
// set first row and first column to zero
for (int i=0; i<=m_nN; ++i) {
m_vecMatrix.push_back(vector<int>(m_nW+1, 0));
}

}

void Package::print(){
compute();
cout<<"\n=====The Results======\n"<<"The max value: "<<m_vecMatrix[m_nN][m_nW]<<endl;
}

void Package::compute(){
for (int i=1; i<=m_nN; ++i) {
for (int j=1; j<=m_nW; ++j) {
int cur_weight = m_vecWeight[i];
if (cur_weight>j) {
m_vecMatrix[i][j] = m_vecMatrix[i-1][j];
} else{
m_vecMatrix[i][j] = max<int>(m_vecMatrix[i-1][j-cur_weight]+m_vecValue[i], m_vecMatrix[i-1][j]);
}
}
}
}

输入的测试数据可以参考：http://zhidao.baidu.com/question/77646243.html