POJ 2096 概率dp

题意：一个软件有s个子系统，会产生n种bug。

某人一天发现一个bug，这个bug属于某种bug，发生在某个子系统中。

求找到所有的n种bug，且每个子系统都找到bug，这样所要的天数的期望。

需要注意的是：bug的数量是无穷大的，所以发现一个bug，出现在某个子系统的概率是1/s，

属于某种类型的概率是1/n。

解法：

dp[i][j]表示已经找到i种bug，并存在于j个子系统中，要达到目标状态的天数的期望。

显然，dp
[s]=0，因为已经达到目标了。而dp[0][0]就是我们要求的答案。

dp[i][j]状态可以转化成以下四种：

dp[i][j] 发现一个bug属于已经找到的i种bug和j个子系统中

dp[i+1][j] 发现一个bug属于新的一种bug，但属于已经找到的j种子系统

dp[i][j+1] 发现一个bug属于已经找到的i种bug，但属于新的子系统

dp[i+1][j+1]发现一个bug属于新的一种bug和新的一个子系统

以上四种的概率分别为：

p1 = i*j / (n*s)

p2 = (n-i)*j / (n*s)

p3 = i*(s-j) / (n*s)

p4 = (n-i)*(s-j) / (n*s)

又有：期望可以分解成多个子期望的加权和，权为子期望发生的概率，即 E(aA+bB+...) = aE(A) + bE(B) +...

所以：

dp[i,j] = p1*dp[i,j] + p2*dp[i+1,j] + p3*dp[i,j+1] + p4*dp[i+1,j+1] + 1;

整理得：

dp[i,j] = ( 1 + p2*dp[i+1,j] + p3*dp[i,j+1] + p4*dp[i+1,j+1] )/( 1-p1 )

= ( n*s + (n-i)*j*dp[i+1,j] + i*(s-j)*dp[i,j+1] + (n-i)*(s-j)*dp[i+1,j+1] )/( n*s - i*j )

const int  maxn = 1008 ;
double dp[maxn][maxn] ;

int  main(){
int i  , j  , n  , s  ;
double ns ;
while(scanf("%d%d" , &n , &s) != EOF){
ns = n * s ;
dp
[s] = 0.0  ;
for(i = n ; i >= 0 ; i--){
for(j = s ; j >= 0 ; j--){
if(i == n && j == s) continue ;
dp[i][j] = ( ns + dp[i][j]*i*j + dp[i+1][j]*(n-i)*j
+ dp[i][j+1]*i*(s-j) + dp[i+1][j+1]*(n-i)*(s-j)
) / (ns - i*j) ;
}
}
printf("%.4lf\n" , dp[0][0]) ;
}
return 0 ;
}