2876: [Noi2012]骑行川藏 - BZOJ

Description

蛋蛋非常热衷于挑战自我，今年暑假他准备沿川藏线骑着自行车从成都前往拉萨。川藏线的沿途有着非常美丽的风景，但在这一路上也有着很多的艰难险阻，路况变化多端，而蛋蛋的体力十分有限，因此在每天的骑行前设定好目的地、同时合理分配好自己的体力是一件非常重要的事情。
由于蛋蛋装备了一辆非常好的自行车，因此在骑行过程中可以认为他仅在克服风阻做功（不受自行车本身摩擦力以及自行车与地面的摩擦力影响）。某一天他打算骑N段路，每一段内的路况可视为相同：对于第i段路，我们给出有关这段路况的3个参数 si , ki , vi' ，其中 si 表示这段路的长度， ki 表示这段路的风阻系数， vi' 表示这段路上的风速（表示在这段路上他遇到了顺风，反之则意味着他将受逆风影响）。若某一时刻在这段路上骑车速度为v，则他受到的风阻大小为 F = ki ( v - vi' )2（这样若在长度为s的路程内保持骑行速度v不变，则他消耗能量（做功）E = ki ( v - vi' )2 s）。
设蛋蛋在这天开始时的体能值是 Eu ，请帮助他设计一种行车方案，使他在有限的体力内用最短的时间到达目的地。请告诉他最短的时间T是多少。

【评分方法】
本题没有部分分，你程序的输出只有和标准答案的差距不超过0.000001时，才能获得该测试点的满分，否则不得分。

【数据规模与约定】
对于10%的数据，N=1；
对于40%的数据，N<=2；
对于60%的数据，N<=100；
对于80%的数据，N<=1000；
对于所有数据，N <= 10000，0 <= Eu <= 108，0 < si <= 100000，0 < ki <= 1，-100 < vi' < 100。数据保证最终的答案不会超过105。

【提示】
必然存在一种最优的体力方案满足：蛋蛋在每段路上都采用匀速骑行的方式。

Input

第一行包含一个正整数N和一个实数Eu，分别表示路段的数量以及蛋蛋的体能值。 接下来N行分别描述N个路段，每行有3个实数 si , ki , vi' ，分别表示第 i 段路的长度，风阻系数以及风速。
Output

输出一个实数T，表示蛋蛋到达目的地消耗的最短时间，要求至少保留到小数点后6位。
Sample Input

3 10000
10000 10 5
20000 15 8
50000 5 6

Sample Output
12531.34496464
【样例说明】 一种可能的方案是：蛋蛋在三段路上都采用匀速骑行的方式，其速度依次为5.12939919, 8.03515481, 6.17837967。

想了一下，然后看了年鉴，没想到是这样的，我只是不敢写

上次做了一道类似的也是把体力用到增长率最高的地方，这个很巧

方法就是先搞一个合法的能量分配（一定要合法，能量要大于0，速度要大于0），然后调整

步长为del（开始为Eu），每次选一个增加选一个减少，然后一定要收益为正（用一个两个堆维护（t[e[i]]-t[e[i]+del]）和（t[e[i]]-t[e[i]-del]）的最大值）

每次做完后步长变成原来的1/k，一直做，做到步长足够小

可以证明这样做时间是n*logn*logV的，因为

第一次每个数最多变一次

后面的时候每个数最多变k次左右，如果超过了的话，那么在上一层就应该已经被更改了

做完之后拿数据测了一下，对了，然后就交，结果最后三个点RE

下完数据发现，数据跟年鉴上的不一样，s[i]有=0的情况，坑爹啊，我算t的时候有/s的地方，然后改了就A了TAT......

正解就差不多是算导数（增长率），我觉得不好算就没写了（不太喜欢算导数）

const
maxn=10010;
eps=1e-12;
inf=1e6;
var
s,k,v:array[0..maxn]of double;
n,cnt:longint;
all,ans:double;

function flag(x:double):boolean;
var
i:longint;
l,r,mid,a:double;
begin
a:=all;
for i:=1 to n do
begin
l:=v[i];r:=inf;
while abs(l-r)>eps do
begin
mid:=(l+r)/2;
if 2*k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid
else l:=mid;
end;
if l<eps then exit(true);
a:=a-s[i]*k[i]*sqr(l-v[i]);
if a<0 then exit(false);
end;
exit(true);
end;

procedure main;
var
l,r,mid,x:double;
i:longint;
begin
read(n,all);
for i:=1 to n do
begin
inc(cnt);
read(s[cnt],k[cnt],v[cnt]);
if s[cnt]=0 then dec(cnt);
end;
n:=cnt;
l:=0;r:=inf;
while abs(l-r)>eps do
begin
mid:=(l+r)/2;
if flag(mid) then l:=mid
else r:=mid;
end;
x:=l;
for i:=1 to n do
begin
l:=v[i];r:=inf;
while abs(l-r)>eps do
begin
mid:=(l+r)/2;
if 2*k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid
else l:=mid;
end;
ans:=ans+s[i]/l;
end;
writeln(ans:0:8);
end;

begin
main;
end.

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