死磕傅里叶变换

参考：科学松鼠会（http://songshuhui.net/）关于不确定性原理的讨论

参考：知乎（http://www.zhihu.com/）关于傅里叶变换的讨论

关于一个信号最基本的问题在于如何将它表示和描述出来：

一个定义在时间或空间上的函数是一种自然而然的表示方式（声音，图像）

另一种则是把一个信号「展开」成不同频率的简单三角函数（简谐振动）的叠加，于是这就相当于把它看作是定义在所有频率所组成的空间（称为频域空间）上的另一个函数，自变量是不同的频率，因变量是该频率所对应的简谐振动的幅度。（傅里叶展开）

这两个函数一个定义在时域（或空域）上，一个定义在频域上，看起来的样子通常截然不同，但是它们是在以完全不同的方式殊途同归地描述着同一个信号。它们就象是两种不同的语言，乍一听完全不相干，但是其实可以精确地互相翻译。在数学上，这种翻译的过程被称为「傅立叶变换」。

对以上论述的一个说明：当将一个在时间或空间域上定义的函数展开成不同频率的三角函数的叠加时，这时此种展开表达方式的自变量仍然是时间或空间。此时考虑一种等价的表达方式：如果能够记录下所有的三角函数分量（由于每个分量是简单的三角函数，只要知道频率和幅值就可以了），那么相当于记录下了原来的函数（所有三角函数的一个叠加即可还原）。这样，我们需要考虑如何能够“记录所有的三角函数分量”。由于是记录所有需要的<频率，幅值>对，很自然考虑用函数来记录，自变量为频率，因变量为幅值，对于未出现在原函数展开中的<频率，幅值>，将其幅值取0即可。这样就在频率域表述了一个函数，这个函数与原函数描述了同一信号。

这是一个傅里叶展开的动画（来自维基百科）：



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

傅里叶变换：

如何做到上述两种不同函数表述方式的转换？这由傅里叶变换公式来解决。傅里叶变换的公式大家都知道，这里对该公式的含义做一些说明。这里考虑将时间域f(t)变为平率域F(w)的傅里叶变换公式。

数学上，我们说正弦波是正交的，意思是e^(jwt) e^(-jw't)积分后是delta函数，w'=w时为无穷大，否则为0。试类比矢量的正交，设x,y分别是二维空间里两个方向的单位矢量，他们正交是指他们之间的点积x.x=y.y=1,
x.y=0。
现在请把e^(jwt)
e^(-jw't)的积分看做两个正弦波e^(jwt)和e^(jw't)的“点积”。一般一些的话，两个任意信号f1和f2的“点积”就定义为f1乘上f2的共轭，再积分。
对一个矢量v，它和x的点积v.x就是矢量v在x方向上的分量大小。类比两个信号的“点积”，正弦波就相当于单位矢量。你现在是否理解了为什么乘上一个正弦波再积分就可以得到这个正弦波的强度？

基于以上论述，我们可以确信傅里叶变换公式的确可以将f(t)表述成F(w),当w在其定义域上取值时，每取一个w,对应公式右边的一个共轭正玄波，当它与f(t)做“点积”时，便可以正确的找出这个频率w对应的幅度值，这样当w取便定义域上的值，那么表示出了所有f(t)分解出来的正弦分量，即为f(t)的频率域表示
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
傅里叶变换的意义：

一个在时域或空域上看起来很复杂的信号（譬如一段声音或者一幅图像）通常在频域上的表达会很简单。这里「简单」的意思是说作为频域上的函数，它只集中在很小一块区域内，而很大一部分数值都接近于零。

这是一个意味深长的事实，它说明一个在空域中看起来占满全空间的信号，从频域中看起来很可能只不过占用了极小一块区域，而大部分频率是被浪费了的。这就导出了一个极为有用的结论：一个看起来信息量很大的信号，其实可以只用少得多的数据来加以描述。只要对它先做傅里叶变换，然后只记录那些不接近零的频域信息就可以了，这样数据量就可以大大减少。

基本上，这正是今天大多数数据压缩方法的基础思想。在互联网时代，大量的多媒体信息需要在尽量节省带宽和时间的前提下被传输，所以数据压缩从来都是最核心的问题之一。而今天几乎所有流行的数据压缩格式，无论是声音的 mp3 格式还是图像的 jpg 格式，都是利用傅立叶变换才得以发明的。从这个意义上说来，几乎全部现代信息社会都建立在傅立叶的理论的基础之上。

有没有一种信号在空域和频域上的分布都很广泛呢？有的，最简单的例子就是噪声信号。一段纯粹的白噪声，其傅立叶变换也仍然是噪声，所以它在空域和频域上的分布都是广泛的。如果用信号处理的语言来说，这就说明「噪声本身是不可压缩的」。这并不违反直觉，因为信号压缩的本质就是通过挖掘信息的结构和规律来对它进行更简洁的描述，而噪声，顾名思义，就是没有结构和规律的信号，自然也就无从得以压缩。

另一方面，有没有一种信号在空域和频域上的分布都很简单呢？换句话说，存不存在一个函数，它在空间上只分布在很少的几个区域内，并且在频域上也只占用了很少的几个频率呢？（零函数当然满足这个条件，所以下面讨论的都是非零函数。）

答案是不存在。这就是所谓的 uncertainty principle（不确定性原理）。

这一事实有极为重要的内涵，但是其重要性并不容易被立刻注意到。它甚至都不是很直观：大自然一定要限制一个信号在空间分布和频率分布上都不能都集中在一起，看起来并没有什么道理啊。

这个原理可以被尽量直观地解释如下：所谓的频率，本质上反应的是一种长期的全局的趋势，所以任何一个单一的频率，一定对应于一个在时空中大范围存在的信号。反过来，任何只在很少一块时空的局部里存在的信号，都存在很多种不同的长期发展的可能性，从而无法精确推断其频率。

让我们仍然用音乐来作例子。声音可以在时间上被限制在一个很小的区间内，譬如一个声音只延续了一刹那。声音也可以只具有极单一的频率，譬如一个音叉发出的声音（如果你拿起手边的固定电话，里面的拨号音就是一个 440Hz 的纯音加上一个 350Hz 的纯音，相当于音乐中的 A-F 和弦）。但是不确定性原理告诉我们，这两件事情不能同时成立，一段声音不可能既只占据极短的时间又具有极纯的音频。当声音区间短促到一定程度的时候，频率就变得不确定了，而频率纯粹的声音，在时间上延续的区间就不能太短。因此，说「某时某刻那一刹那的一个具有某音高的音」是没有意义的。

这看起来像是一个技术性的困难，而它实际上反映出却是大自然的某种本质规律：任何信息的时空分辨率和频率分辨率是不能同时被无限提高的。一种波动在频率上被我们辨认得越精确，在空间中的位置就显得越模糊，反之亦然。

这一规律对于任何熟悉现代多媒体技术的人来说都是熟知的，因为它为信号处理建立了牢不可破的边界，也在某种程度上指明了它发展的方向。既然时空分辨率和频率分辨率不能同时无限小，那人们总可以去研究那些在时空分布和频率分布都尽量集中的信号，它们在某种意义上构成了信号的「原子」，它们本身有不确定性原理所允许的最好的分辨率，而一切其他信号都可以在时空和频率上分解为这些原子的叠加。这一思路在四十年代被 D. Gabor （他后来因为发明全息摄影而获得了 1971 年的诺贝尔物理奖）所提出，成为整个现代数字信号处理的奠基性思想，一直影响到今天。