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sdibt 3146 The K'th number(康托展开)

2014-06-15 16:32 295 查看
链接:sdibt 3146

本题运用到一个知识点,康托展开

公式:把一个整数X展开成如下形式:

X=a
*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!

其中,a为整数,并且0<=a[i]<i(1<=i<=n)

用一个例子解释:{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如
{1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。

求1324是{1,2,3,4}排列数中第几小的数:

第一位是1小于1的数没有,是0个
0*3!

第二位是3小于3的数有1和2,但1已经在第一位了,所以只有一个数2 1*2! 。

第三位是2小于2的数是1,但1在第一位,所以有0个数 0*1! ,

所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个,1324是第三个小数。

逆运算:

{1,2,3,4,5}的全排列,并且已经从小到大排序完毕

(1)找出第96个数

首先用96-1得到95

用95去除4! 得到3余23

有3个数比它小的数是4

所以第一位是4

用23去除3! 得到3余5

有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以第二位是5(4在之前出现过,所以实际比5小的数是3个)

用5去除2!得到2余1

有2个数比它小的数是3,第三位是3

用1去除1!得到1余0

有1个数比它小的数是2,第二位是2

最后一个数只能是1

所以这个数是45321

(2)找出第16个数

首先用16-1得到15

用15去除4!得到0余15

用15去除3!得到2余3

用3去除2!得到1余1

用1去除1!得到1余0

有0个数比它小的数是1

有2个数比它小的数是3 但由于1已经在之前出现过了所以是4(因为1在之前出现过了所以实际比4小的数是2)

有1个数比它小的数是2 但由于1已经在之前出现过了所以是3(因为1在之前出现过了所以实际比3小的数是1)

有1个数比它小得数是2 但由于1,3,4已经在之前出现过了所以是5(因为1,3,4在之前出现过了所以实际比5小的数是1)

最后一个数只能是2

所以这个数是14352
AC代码:
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int main()
{
    long long k,m,f[21]={1,1};
    int i,j,x,n,t,a[210],b[210];
    for(i=2;i<=20;i++)
        f[i]=f[i-1]*i;
    while(scanf("%d%lld",&n,&k)!=EOF){
        k--;
        memset(a,0,sizeof(a));
        x=1;
        for(i=20;i>=1;i--)
            if(k>=f[i])
                break;
        for(j=1;j<n-i;j++){
            b[x++]=j;
            a[j]=1;
        }
        for(i++;i>=1;i--){
            m=k/f[i-1];
            t=0;
            for(j=1;j<=n;j++){
                if(a[j]==0)
                    t++;
                if(t==m+1){
                    a[j]=1;
                    break;
                }
            }
            k%=f[i-1];
            b[x++]=j;
        }
        for(i=1;i<n;i++)
            printf("%d ",b[i]);
        printf("%d\n",b[i]);
    }
    return 0;
}
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