uva 10006 数论入门题

这是一个入门的数论题目 ， 只需要简单的找素数和快速幂取模

题意：输入一个数 n ， 如果这个数是非素数 ， 问是不是 这个2~n-1区间的所有数都满足

？

解法：由于数据量不大 ， 可以直接暴力求解

解法1： 暴力求解

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;

long long prime[65010];
long long n;

void init()
{
memset(prime , 0 , sizeof(prime));
long long i , j;

for(i = 2; i < 65000 ; i++)
{
if(prime[i] == 0)
{
for(j = i+i; j < 65000; j += i)
prime[j] = 1;
}
}
}

long long pow_mod(long long a)
{
long long x = 1 , y = a;
long long z = n;
while(z-1)
{
if(z%2 == 1)
x = x*y%n;
y = y*y%n;
z /= 2;
}
x = x*y%n;
return x;
}

int main()
{
init();
while(1)
{
long long i ;
cin>>n;
if(n == 0) break;
if(!prime
)
{
cout<<n<<" is normal."<<endl;
continue;
}
for(i = 2; i < n; i++)
if(pow_mod(i) != i) break;

if(i == n)
cout<<"The number "<<n<<" is a Carmichael number."<<endl;
else cout<<n<<" is normal."<<endl;
}
return 0;
}


解法2：
利用唯一分解定理 ，  任何一个非素数 ， 都会由素数因子组成 ， 因此当我们要求 a^n 时 ，

我们通过 a = x*y  ,   a^n = (x^n)*(y^n) ， 这时我们就只需求得 a 的一个因子 ， 由此可以降低时间复杂度

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;

int prime[65010];
long long n;
long long gcd[65010];
long long pri[65010];

void init()
{
memset(prime , 0 , sizeof(prime));
long long i , j;

for(i = 2; i < 65000 ; i++)
{
if(prime[i] == 0)
{
for(j = i+i; j < 65000; j += i)
prime[j] = 1 , pri[j] = i;
}
}
}

long long pow_mod(long long a)
{
long long x = 1 , y = a;
long long z = n;
while(z-1)
{

if(z%2 == 1)
x = x*y%n;
y = y*y%n;
z /= 2;
}
x = x*y%n;
return x;
}

int main()
{
init();
while(1)
{
long long i , j , x;
cin>>n;
if(n == 0) break;
if(!prime
)
{
cout<<n<<" is normal."<<endl;
continue;
}
if((gcd[2] = pow_mod(2)) != 2)
{
cout<<n<<" is normal."<<endl;
continue;
}
if((gcd[3] = pow_mod(3)) != 3)
{
cout<<n<<" is normal."<<endl;
continue;
}
for(i = 4; i < n; i++)
{
if(prime[i])
{
j = i/pri[i];
x = gcd[pri[i]]*gcd[j]%n;
if((gcd[i] = x) != i) break;
}
else
{
gcd[i] = pow_mod(i);
if(gcd[i] != i) break;
}
}

if(i == n)
cout<<"The number "<<n<<" is a Carmichael number."<<endl;
else cout<<n<<" is normal."<<endl;
}
return 0;
}