独立任务最优调度问题

转自：http://hi.baidu.com/liongg/blog/item/63d6a9ec19454c2262d09f01.html（有修改）

问题：独立任务最优调度，又称双机调度问题：用两台处理机A和B处理n个作业。设第i个作业交给机器A处理时所需要的时间是a[i]，若由机器B来处理，则所需要的时间是b[i]。现在要求每个作业只能由一台机器处理，每台机器都不能同时处理两个作业。设计一个动态规划算法，使得这两台机器处理完这n个作业的时间最短（从任何一台机器开工到最后一台机器停工的总的时间）。

研究一个实例：

n=6

a = {2, 5, 7, 10, 5, 2};

b = {3, 8, 4, 11, 3, 4}.

分析：当完成k个作业，设机器A花费了x时间，机器B所花费时间的最小值肯定是x的一个函数，设F[k][x]表示机器B所花费时间的最小值（注意，这是B机器所花费的时间，即当B机器停机时的时间点）。则有

F[k][x]=Min{ F[k-1][x]+b[k], F[k-1][x-a[k]] }；

其中，F[k-1][x]+b[k]表示第k个作业由机器B来处理（完成k-1个作业时机器A花费的时间仍是x，前提就是A机器停机的时间是x），F[k-1][x-a[k]]表示第k个作业由机器A处理（完成k-1个作业时机器A花费的时间是x-a[k]）。

那么x（表示A机器的停机时间）、F[k][x]（表示B机器的停机时间）两者取最晚停机的时间，也就是两者中最大的时间，是在AB在此时间中完成k任务最终的时间：Max(x, F[k][x])。而机器A花费的时间x在此期间是一个变量，其取值可以是即x=0,1,2……x(max)，（理论上x的取值是离散的，但为编程方便，设为整数连续的）由此构成了点对较大值序列。要求整体时间最短，取这些点对较大值序列中最小的即是。

理解难点在于B是A的函数表达式，也即动态规划所在。花点时间，看懂表达式，加上思考，理解了这点一切OK，后面的编程实现完全依据这个思想。先用前两个任务的枚举示例来帮助理解。

示例：前两个作业示例足矣。

初始化第一个作业：下标以0开始。

首先，机器A所花费时间的所有可能值范围：0 <= x <= a[0].

设x<0时，设F[0][x]= ∞，则max(x, ∞)= ∞；记法意义见下。

x=0时，F[0][0]=3，则Max(0,3)=3，机器A花费0时间，机器B花费3时间，而此时两个机器所需时间为3；

x=1时，F[0][1]=3，Max(1,3)=3；

x=2时，F[0][2]=0，则Max(2,0)=2；

那么上面的点对序列中，可以看出当x=2时，完成第一个作业两台机器花费最少的时间为2，此时机器A花费2时间，机器B花费0时间。

来看第二个作业：

首先，x的取值范围是：0 <= x <= (a[0] + a[1]).

当x<0时，记F[1][x] = ∞；这个记法编程使用，因为数组下标不能小于0。在这里的实际含义是：x是代表完成前两个作业机器A的时间，a[1]是机器A完成第2个作业的时间，若x<a[1]，则势必第2个作业由机器B来处理，即在Min()中取前者。

x=0，则F[1][0]= Min{ F[0][0]+b[2], F[0][0-a[1]] }= Min{3+8,∞}=11，进而Max(0,11)=11；

x=1，则F[1][1]= Min{ F[0][1]+b[2], F[0][1-a[1]] }= Min{3+8,∞}=11，进而Max(11)=11；

x=2，则F[1][2]= Min{ F[0][2]+b[2], F[0][2-a[1]] }= Min{0+8,∞}=8，进而Max(2,8)=8；

x=3，则F[1][3]= Min{ F[0][3]+b[2], F[0][3-a[1]] }= Min{0+8,∞}=8，进而Max(3,8)=8；

x=4，则F[1][4]= Min{ F[0][4]+b[2], F[0][4-a[1]] }= Min{0+8,∞}=8，进而Max(4,8)=8；

x=5，则F[1][5]= Min{ F[0][5]+b[2], F[0][5-a[1]] }= Min{0+8,3}=3，进而Max(5,3)=5；

x=6，则F[1][6]= Min{ F[0][6]+b[2], F[0][6-a[1]] }= Min{0+8,3}=3，进而Max(6,3)=6；

x=7，则F[1][7]= Min{ F[0][7]+b[2], F[0][7-a[1]] }= Min{0+8,0}=0，进而Max(7,0)=7；

那么上面的点对序列中，可以看出当x=5时，完成两个作业两台机器花费最少的时间为5，此时机器A花费5时间，机器B花费3时间。



程序代码如下：

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<span style="font-size:16px;">using System;

namespace zydd

{

class Program

{

//独立任务最优调度函数，参数为两组任务和任务个数，最优时间和顺序结果。

static void DlrwZydd(int[] a, int[] b, int n, int[] least, string[] result)

{

//首先给一个大值。

for (int i = 0; i < n; i++)

{

least[i] = 99;

}

//若任务只有一台机器完成，求得两个时间。

int aSum = 0, bSum = 0;

for (int i = 0; i < n; i++)

{

aSum += a[i];

bSum += b[i];

}

//小值加1作为数组的列数，减少存储空间。

int Sum = 1 + Math.Min(aSum, bSum);

//创建四个行数列数相同的数组，timeA存储机器A可能用的时间，timeB存储对应机器B用的时间，

//timeMax记录两者共需的时间，即较大的那个；who则标识完成该任务的机器是A还是B。

int[,] timeA = new int[n, Sum];

int[,] timeB = new int[n, Sum];

int[,] timeMax = new int[n, Sum];

char[,] who = new char[n, Sum];

char[] tempRlt = new char
;//tempRlt记录机器完成任务的机器顺序，并逐一赋值给result

//先计算第1个任务相关值，记录在四个数组的第0行。

for (int i = 0; i <= a[0]; i++)

{

timeA[0, i] = i;

if (i < a[0])

{

timeB[0, i] = b[0];

who[0, i] = 'b';

}

else

{

timeB[0, i] = 0;

who[0, i] = 'a';

}

timeMax[0, i] = Math.Max(timeA[0, i], timeB[0, i]);

}

//尽管像下面一样，直接比较即可得出完成第1项任务的最优时间，但由于使用动态规划，计算上述值是必需的。

if (a[0] <= b[0])

{

least[0] = a[0];

tempRlt[0] = 'a';

}

else

{

least[0] = b[0];

tempRlt[0] = 'b';

}

result[0] = new String(tempRlt);

//计算第2个至第n个任务，分别记录在四个数组相应行。

for (int k = 1; k < n; k++)

{

//tempSum记录完成前k项任务机器A最多需要的时间，即全部由A完成需要的时间，亦即机器A所有可能的取值范围。

int tempSum = 0;

for (int temp = 0; temp <= k; temp++)

{

tempSum += a[temp];

}

//计算出所有可能的点对(timeA,timeB)，并取值timeMax。

for (int i = 0; i <= tempSum; i++)

{

//机器A在完成前k项任务时所花费的时间为i。

timeA[k, i] = i;

//i即timeA[k, i]，若机器A完成前k项任务的时间 小于 它完成第k项的时间，可能吗？不可能，所以第k项任务肯定由机器B做。

if (i < a[k])

{

timeB[k, i] = timeB[k - 1, i] + b[k];

who[k, i] = 'b';

}

//按照前述动态规划方式的思想，确定机器A在花费i时间时，机器B花费的最优时间。

else

{

if ((timeB[k - 1, i] + b[k]) <= timeB[k - 1, i - a[k]])

{

timeB[k, i] = timeB[k - 1, i] + b[k];

who[k, i] = 'b';

}

else

{

timeB[k, i] = timeB[k - 1, i - a[k]];

who[k, i] = 'a';

}

}

//两台机器花费时间较大的那个为总花费时间。

timeMax[k, i] = Math.Max(timeA[k, i], timeB[k, i]);

}

//处理数组tempSum后面的值。机器A时间全部设为最大，此时机器B则无需花费时间。

for (int i = tempSum + 1; i < aSum; i++)

{

timeA[k, i] = tempSum;

timeB[k, i] = 0;

}

//完成第k项任务后，在timeMax所有可能值中，选取最小值即最优值。

int flag = 0;//记录最优值所在的位置i值，同时也是机器A所花费的时间。

for (int i = 0; i <= tempSum; i++)

{

if (timeMax[k, i] > 0 && timeMax[k, i] < least[k])

{

least[k] = timeMax[k, i];

flag = i;

}

}

//用来回溯所用机器的顺序，需要注意的是机器A所花费的时间和数组的下标一样，因此可用做标记。

//最后一项任务的回溯路径已在示意图中标出，便于理解。

tempRlt[k] = who[k, flag];

for (int i = k; i > 0 && flag > 0; i--)

{

//如果是机器A完成第i项任务，则机器A花费的时间减去a[i]就是完成前i-1项任务的时间。

//同时在who中可以确定前一项任务的机器，因为机器A花费的时间可用做位置标记。

if (tempRlt[i] == 'a')

{

flag -= a[i];

tempRlt[i - 1] = who[i - 1, flag];

}

if (tempRlt[i] == 'b')

{

tempRlt[i - 1] = who[i - 1, flag];

}

}

result[k] = new String(tempRlt);

}

}

static void Main(string[] args)

{

const int N = 6;

int[] a = new int
{ 2, 5, 7, 10, 5, 2 };

int[] b = new int
{ 3, 8, 4, 11, 3, 4 };

int[] least = new int
; //记录完成任务的最优时间

string[] result = new string
; //记录完成任务机器的顺序

DlrwZydd(a, b, N, least, result);

Console.WriteLine();

for (int i = 0; i < N; i++)

{

Console.WriteLine(" 按要求完成前{0}项任务的机器顺序为：" + result[i] + " 时间为：{1}" ,i+1,least[i]);

}

}

}

}

</span>

便于理解的图：