POJ 2891 Strange Way to Express Integers 中国剩余定理解法

一种不断迭代，求新的求余方程的方法运用中国剩余定理。

总的来说，如果对方程操作，和这个定理的数学思想运用的不多的话，是很困难的。

参照了这个博客的程序写的： http://scturtle.is-programmer.com/posts/19363.html
这个博客举例说的挺好的：http://blog.csdn.net/mishifangxiangdefeng/article/details/7109217

hdu 3579 Hello Kiki 中国剩余定理(不互质的情况)

对互质的情况，处理起来比较方便，可以直接套模板

本题给出不互质的模线性方程组，求出满足方程的最小正整数解

方案：对于不互质的模线性方程组，可以进行方程组合并，求出合并后的方程的解，这样就可以很快地推出方程的最终解。

两个方程合并的一种方法：

x = c1 (mod b1）

x = c2(mod b2)

此时b1,b2不必互质的。

显然可以得到x = k1 * b1 + c1 x = k2* b2 + c2，

两个方程合并一下就可以得到：k1 * b1 = c2 - c1 (mod b2)，

这样可以设g=gcd(b1,b2),于是就有b1/g*k1-b2/g*k2=(c2-c1)/g，

显然判断(c2-c1)/g是否为整数就能判断是否存在解，

这样在经过类似的变换就能得到k1 = K (mod （b2/g))，

最后得到x = K*b1 + c1 (mod (b1 * b2/g))。

对于题目所给正整数的要求，只有一种反例，就是结果输出为0的情况，

这个可以特殊考虑，只需要考虑所有数的最小公倍数即可。

各个式子各个变量的含义都需要理解才能写好这个程序；最后0MS过，这个程序居然上榜了。

__int64 s, t, g;

void extGCD(__int64 a, __int64 b)
{
	if (b == 0)
	{
		s = 1, t = 0, g = a;
	}
	else
	{
		extGCD(b, a % b);
		__int64 tmp = s;
		s = t;
		t = tmp - a / b * t;
	}
}

int main()
{
	__int64 m1, m2, r1, r2, m10, m20, c;
	int n;

	while (scanf("%d", &n) != EOF)
	{
		bool flag = false;
		scanf("%lld %lld", &m1, &r1);

		for (int i = 1; i < n; i++)
		{
			scanf("%lld %lld", &m2, &r2);
			if (flag) continue;
			extGCD(m1, m2);//因为定理条件是除数互质，所以除以公约数使得其互质
			c = r2 - r1;//k1*m1 == (r2 - r1) (mod m2)
			if (c % g)
			{
				flag = true;
				continue;
			}
			m20 = m2 / g;//这个为新的mod除数，和下面新的m1互质
			c /= g;
			__int64 r0 = (c * s % m20 + m20) % m20;
			r1 = r0 * m1 + r1;
			m1 = m1 * m20;//得到新式子的系数： m1 * x + r1 == r2 即：x = r1, r2...(mod m1, m2)
		}
		if (flag) puts("-1");
		else printf("%lld\n", r1);
	}
	return 0;
}