Matlab概率统计工具箱---基本函数

4.5.4
方差

命令 求样本方差

函数 var

格式 D=var(X) %var(X)=,若X为向量,则返回向量的样本方差.

D=var(A) %A为矩阵,则D为A的列向量的样本方差构成的行向量.

D=var(X, 1) %返回向量(矩阵)X的简单方差(即置前因子为的方差)

D=var(X, w) %返回向量(矩阵)X的以w为权重的方差

命令 求标准差

函数 std

格式 std(X) %返回向量(矩阵)X的样本标准差(置前因子为)即:

std(X,1) %返回向量(矩阵)X的标准差(置前因子为)

std(X, 0) %与std (X)相同

std(X, flag, dim)
%返回向量(矩阵)中维数为dim的标准差值,其中flag=0时,置前因子为;否则置前因子为.

例4-41 求下列样本的样本方差和样本标准差,方差和标准差

14.70 15.21 14.90 15.32 15.32

解:

>>X=[14.7 15.21 14.9 14.91 15.32 15.32];

>>DX=var(X,1) %方差

DX =

0.0559

>>sigma=std(X,1) %标准差

sigma =

0.2364

>>DX1=var(X) %样本方差

DX1 =

0.0671

>>sigma1=std(X) %样本标准差

sigma1 =

0.2590

命令 忽略NaN的标准差

函数 nanstd

格式 y = nanstd(X)
%若X为含有元素NaN的向量,则返回除NaN外的元素的标准差,若X为含元素NaN的矩阵,则返回各列除NaN外的标准差构成的向量.

例4-42

>> M=magic(3) %产生3阶魔方阵

M =

8 1 6

3 5 7

4 9 2

>> M([1 6 8])=[NaN NaN NaN] %替换3阶魔方阵中第1,6,8个元素为NaN

M =

NaN 1 6

3 5 NaN

4 NaN 2

>> y=nanstd(M) %求忽略NaN的各列向量的标准差

y =

0.7071 2.8284 2.8284

>> X=[1 5]; %忽略NaN的第2列元素

>> y2=std(X) %验证第2列忽略NaN元素的标准差

y2 =

2.8284

命令 样本的偏斜度

函数 skewness

格式 y = skewness(X) %X为向量,返回X的元素的偏斜度;X为矩阵,返回X各列元素的偏斜度构成的行向量.

y = skewness(X,flag) %flag=0表示偏斜纠正,flag=1(默认)表示偏斜不纠正.

说明偏斜度样本数据关于均值不对称的一个测度,如果偏斜度为负,说明均值左边的数据比均值右边的数据更散;如果偏斜度为正,说明均值右边的数据比均值左边的数据更散,因而正态分布的偏斜度为
0;偏斜度是这样定义的:

其中:μ为x的均值,σ为x的标准差,E(.)为期望值算子

例4-43

>> X=randn([5,4])

X =

0.2944 0.8580 -0.3999 0.6686

-1.3362 1.2540 0.6900 1.1908

0.7143 -1.5937 0.8156 -1.2025

1.6236 -1.4410 0.7119 -0.0198

-0.6918 0.5711 1.2902 -0.1567

>> y=skewness(X)

y =

-0.0040 -0.3136 -0.8865 -0.2652

>> y=skewness(X,0)

y =

-0.0059 -0.4674 -1.3216 -0.3954

admin 2007-11-29 20:48

4.5.5 常见分布的期望和方差

命令 均匀分布(连续)的期望和方差

函数 unifstat

格式 [M,V] = unifstat(A,B)
%A,B为标量时,就是区间上均匀分布的期望和方差,A,B也可为向量或矩阵,则M,V也是向量或矩阵.

例4-44

>>a = 1:6; b = 2.*a;

>>[M,V] = unifstat(a,b)

M =

1.5000 3.0000 4.5000 6.0000 7.5000 9.0000

V =

0.0833 0.3333 0.7500 1.3333 2.0833 3.0000

命令 正态分布的期望和方差

函数 normstat

格式 [M,V] = normstat(MU,SIGMA)
%MU,SIGMA可为标量也可为向量或矩阵,则M=MU,V=SIGMA2.

例4-45

>> n=1:4;

>> [M,V]=normstat(n'*n,n'*n)

M =

1 2 3 4

2 4 6 8

3 6 9 12

4 8 12 16

V =

1 4 9 16

4 16 36 64

9 36 81 144

16 64 144 256

命令 二项分布的均值和方差

函数 binostat

格式 [M,V] = binostat(N,P) %N,P为二项分布的两个参数,可为标量也可为向量或矩阵.

例4-46

>>n = logspace(1,5,5)

n =

10 100 1000 10000 100000

>>[M,V] = binostat(n,1./n)

M =

1 1 1 1 1

V =

0.9000 0.9900 0.9990 0.9999 1.0000

>>[m,v] = binostat(n,1/2)

m =

5 50 500 5000 50000

v =

1.0e+04 *

0.0003 0.0025 0.0250 0.2500 2.5000

常见分布的期望和方差见下表4-6.

表4-6 常见分布的均值和方差

函数名

调用形式

注 释

unifstat

[M,V]=unifstat ( a, b)

均匀分布(连续)的期望和方差,M为期望,V为方差

unidstat

[M,V]=unidstat (n)

均匀分布(离散)的期望和方差

expstat

[M,V]=expstat (p, Lambda)

指数分布的期望和方差

normstat

[M,V]=normstat(mu,sigma)

正态分布的期望和方差

chi2stat

[M,V]=chi2stat (x, n)

卡方分布的期望和方差

tstat

[M,V]=tstat ( n)

t分布的期望和方差

fstat

[M,V]=fstat ( n1, n2)

F分布的期望和方差

gamstat

[M,V]=gamstat ( a, b)

分布的期望和方差

betastat

[M,V]=betastat ( a, b)

分布的期望和方差

lognstat

[M,V]=lognstat ( mu, sigma)

对数正态分布的期望和方差

nbinstat

[M,V]=nbinstat ( R, P)

负二项式分布的期望和方差

ncfstat

[M,V]=ncfstat ( n1, n2, delta)

非中心F分布的期望和方差

nctstat

[M,V]=nctstat ( n, delta)

非中心t分布的期望和方差

ncx2stat

[M,V]=ncx2stat ( n, delta)

非中心卡方分布的期望和方差

raylstat

[M,V]=raylstat ( b)

瑞利分布的期望和方差

Weibstat

[M,V]=weibstat ( a, b)

韦伯分布的期望和方差

Binostat

[M,V]=binostat (n,p)

二项分布的期望和方差

Geostat

[M,V]=geostat (p)

几何分布的期望和方差

hygestat

[M,V]=hygestat (M,K,N)

超几何分布的期望和方差

Poisstat

[M,V]=poisstat (Lambda)

泊松分布的期望和方差

4.5.6 协方差与相关系数

命令 协方差

函数 cov

格式 cov(X) %求向量X的协方差

cov(A)
%求矩阵A的协方差矩阵,该协方差矩阵的对角线元素是A的各列的方差,即:var(A)=diag(cov(A)).

cov(X,Y) %X,Y为等长列向量,等同于cov([X Y]).

例4-47

>> X=[0 -1 1]';Y=[1 2 2]';

>> C1=cov(X) %X的协方差

C1 =

1

>> C2=cov(X,Y) %列向量X,Y的协方差矩阵,对角线元素为各列向量的方差

C2 =

1.0000 0

0 0.3333

>> A=[1 2 3;4 0 -1;1 7 3]

A =

1 2 3

4 0 -1

1 7 3

>> C1=cov(A) %求矩阵A的协方差矩阵

C1 =

3.0000 -4.5000 -4.0000

-4.5000 13.0000 6.0000

-4.0000 6.0000 5.3333

>> C2=var(A(:,1)) %求A的第1列向量的方差

C2 =

3

>> C3=var(A(:,2)) %求A的第2列向量的方差

C3 =

13

>> C4=var(A(:,3))

C4 =

5.3333

命令 相关系数

函数 corrcoef

格式 corrcoef(X,Y) %返回列向量X,Y的相关系数,等同于corrcoef([X Y]).

corrcoef (A) %返回矩阵A的列向量的相关系数矩阵

例4-48

>> A=[1 2 3;4 0 -1;1 3 9]

A =

1 2 3

4 0 -1

1 3 9

>> C1=corrcoef(A) %求矩阵A的相关系数矩阵

C1 =

1.0000 -0.9449 -0.8030

-0.9449 1.0000 0.9538

-0.8030 0.9538 1.0000

>> C1=corrcoef(A(:,2),A(:,3)) %求A的第2列与第3列列向量的相关系数矩阵

C1 =

1.0000 0.9538

0.9538 1.0000

4.6 统计作图

4.6.1 正整数的频率表

命令 正整数的频率表

函数 tabulate

格式 table = tabulate(X)
%X为正整数构成的向量,返回3列:第1列中包含X的值第2列为这些值的个数,第3列为这些值的频率.

例4-49

>> A=[1 2 2 5 6 3 8]

A =

1 2 2 5 6 3 8

>> tabulate(A)

Value Count Percent

1 1 14.29%

2 2 28.57%

3 1 14.29%

4 0 0.00%

5 1 14.29%

6 1 14.29%

7 0 0.00%

8 1 14.29%

4.6.2 经验累积分布函数图形

函数 cdfplot

格式 cdfplot(X) %作样本X(向量)的累积分布函数图形

h = cdfplot(X) %h表示曲线的环柄

[h,stats] = cdfplot(X) %stats表示样本的一些特征

例4-50

>> X=nor
4000
mrnd (0,1,50,1);

>> [h,stats]=cdfplot(X)

h =

3.0013

stats =

min: -1.8740 %样本最小值

max: 1.6924 %最大值

mean: 0.0565 %平均值

median: 0.1032 %中间值

std: 0.7559 %样本标准差

4.6.3 最小二乘拟合直线

函数 lsline

格式 lsline %最小二乘拟合直线

h = lsline %h为直线的句柄

例4-51

>> X = [2 3.4 5.6 8 11 12.3 13.8 16 18.8 19.9]';

>> plot(X,'+')

>> lsline

4.6.4 绘制正态分布概率图形

函数 normplot

格式 normplot(X) %若X为向量,则显示正态分布概率图形,若X为矩阵,则显示每一列的正态分布概率图形.

h = normplot(X) %返回绘图直线的句柄

说明 样本数据在图中用"+"显示;如果数据来自正态分布,则图形显示为直线,而其它分布可能在图中产生弯曲.

例4-53

>> X=normrnd(0,1,50,1);

>> normplot(X)

图4-12

4.6.5 绘制威布尔(Weibull)概率图形

函数 weibplot

格式 weibplot(X)
%若X为向量,则显示威布尔(Weibull)概率图形,若X为矩阵,则显示每一列的威布尔概率图形.

h = weibplot(X) %返回绘图直线的柄

说明绘制威布尔(Weibull)概率图形的目的是用图解法估计来自威布尔分布的数据X,如果X是威布尔分布数据,其图形是直线的,否则图形中可能产生弯曲.

例4-54

>> r = weibrnd(1.2,1.5,50,1);

>> weibplot(r)

图4-13

4.6.6 样本数据的盒图

函数 boxplot

格式 boxplot(X)
%产生矩阵X的每一列的盒图和"须"图,"须"是从盒的尾部延伸出来,并表示盒外数据长度的线,如果"须"的外面没有数据,则在"须"的底部有一个点.

boxplot(X,notch) %当notch=1时,产生一凹盒图,notch=0时产生一矩箱图.

boxplot(X,notch,'sym') %sym表示图形符号,默认值为"+".

boxplot(X,notch,'sym',vert)
%当vert=0时,生成水平盒图,vert=1时,生成竖直盒图(默认值vert=1).

boxplot(X,notch,'sym',vert,whis)
%whis定义"须"图的长度,默认值为1.5,若whis=0则boxplot函数通过绘制sym符号图来显示盒外的所有数据值.

例4-55

>>x1 = normrnd(5,1,100,1);

>>x2 = normrnd(6,1,100,1);

>>x = [x1 x2];

>> boxplot(x,1,'g+',1,0)

图4-14

4.6.7 给当前图形加一条参考线

函数 refline

格式 refline(slope,intercept) % slope表示直线斜率,intercept表示截距

refline(slope) slope=[a b],图中加一条直线:y=b+ax.

例4-56

>>y = [3.2 2.6 3.1 3.4 2.4 2.9 3.0 3.3 3.2 2.1 2.6]';

>>plot(y,'+')

>>refline(0,3)

图4-15

4.6.8 在当前图形中加入一条多项式曲线

函数 refcurve

格式 h = refcurve(p) %在图中加入一条多项式曲线,h为曲线的环柄,p为多项式系数向量,p=[p1,p2,
p3,…,pn],其中p1为最高幂项系数.

例4-57 火箭的高度与时间图形,加入一条理论高度曲线,火箭初速为100m/秒.

>>h = [85 162 230 289 339 381 413 437 452 458 456 440 400
356];

>>plot(h,'+')

>>refcurve([-4.9 100 0])

图4-16

4.6.9 样本的概率图形

函数 capaplot

格式 p = capaplot(data,specs)
�ta为所给样本数据,specs指定范围,p表示在指定范围内的概率.

说明 该函数返回来自于估计分布的随机变量落在指定范围内的概率

例4-58

>> data=normrnd (0,1,30,1);

>> p=capaplot(data,[-2,2])

p =

0.9199

图4-17

4.6.10 附加有正态密度曲线的直方图

函数 histfit

格式 histfit(data) �ta为向量,返回直方图

和正态曲线.

histfit(data,nbins) % nbins指定bar的个数,

缺省时为data中数据个数的平方根.

例4-59

>>r = normrnd (10,1,100,1);

>>histfit(r)

4.6.11 在指定的界线之间画正态密度曲线

函数 normspec

格式 p = normspec(specs,mu,sigma) %specs指定界线,mu,sigma为正态分布的参数p
为样本落在上,下界之间的概率.

例4-60

>>normspec([10 Inf],11.5,1.25)

图4-19

admin 2007-11-29 20:50

4.7 参数估计

4.7.1 常见分布的参数估计

命令 β分布的参数a和b的最大似然估计值和置信区间

函数 betafit

格式 PHAT=betafit(X)

[PHAT,PCI]=betafit(X,ALPHA)

说明 PHAT为样本X的β分布的参数a和b的估计量

PCI为样本X的β分布参数a和b的置信区间,是一个2×2矩阵,其第1例为参数a的置信下界和上界,第2例为b的置信下界和上界,ALPHA为显著水平,(1-α)×100%为置信度.

例4-61 随机产生100个β分布数据,相应的分布参数真值为4和3.则4和3的最大似然估计值和置信度为99%的置信区间为:

解:

>>X = betarnd (4,3,100,1); %产生100个β分布的随机数

>>[PHAT,PCI] = betafit(X,0.01) %求置信度为99%的置信区间和参数a,b的估计值

结果显示

PHAT =

3.9010 2.6193

PCI =

2.5244 1.7488

5.2776 3.4898

说明 估计值3.9010的置信区间是[2.5244 5.2776],估计值2.6193的置信区间是[1.7488
3.4898].

命令 正态分布的参数估计

函数 normfit

格式 [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X)

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha)

说明
muhat,sigmahat分别为正态分布的参数μ和σ的估计值,muci,sigmaci分别为置信区间,其置信度为;alpha给出显著水平α,缺省时默认为0.05,即置信度为95%.

例4-62 有两组(每组100个元素)正态随机数据,其均值为10,均方差为2,求95%的置信区间和参数估计值.

解:>>r = normrnd (10,2,100,2); %产生两列正态随机数据

>>[mu,sigma,muci,sigmaci] = normfit(r)

则结果为

mu =

10.1455 10.0527 %各列的均值的估计值

sigma =

1.9072 2.1256 %各列的均方差的估计值

muci =

9.7652 9.6288

10.5258 10.4766

sigmaci =

1.6745 1.8663

2.2155 2.4693

说明 muci,sigmaci中各列分别为原随机数据各列估计值的置信区间,置信度为95%.

例4-63 分别使用金球和铂球测定引力常数

(1)用金球测定观察值为:6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672

(2)用铂球测定观察值为:6.661 6.661 6.667 6.667 6.664

设测定值总体为,μ和σ为未知.对(1),(2)两种情况分别求μ和σ的置信度为0.9的置信区间.

解:建立M文件:LX0833.m

X=[6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672];

Y=[6.661 6.661 6.667 6.667 6.664];

[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(X,0.1) %金球测定的估计

[MU,SIGMA,MUCI,SIGMACI]=normfit(Y,0.1) %铂球测定的估计

运行后结果显示如下:

mu =

6.6782

sigma =

0.0039

muci =

6.6750

6.6813

sigmaci =

0.0026

0.0081

MU =

6.6640

SIGMA =

0.0030

MUCI =

6.6611

6.6669

SIGMACI =

0.0019

0.0071

由上可知,金球测定的μ估计值为6.6782,置信区间为[6.6750,6.6813];

σ的估计值为0.0039,置信区间为[0.0026,0.0081].

泊球测定的μ估计值为6.6640,置信区间为[6.6611,6.6669];

σ的估计值为0.0030,置信区间为[0.0019,0.0071].

命令 利用mle函数进行参数估计

函数 mle

格式 phat=mle %返回用dist指定分布的最大似然估计值

[phat, pci]=mle %置信度为95%

[phat, pci]=mle %置信度由alpha确定

[phat, pci]=mle %仅用于二项分布,pl为试验次数.

说明 dist为分布函数名,如:beta(分布),bino(二项分布)等,X为数据样本,alpha为显著水平α,为置信度.

例4-64

>> X=binornd(20,0.75) %产生二项分布的随机数

X =

16

>> [p,pci]=mle('bino',X,0.05,20) %求概率的估计值和置信区间,置信度为95%

p =

0.8000

pci =

0.5634

0.9427

常用分布的参数估计函数

表4-7 参数估计函数表

函数名

调 用 形 式

函 数 说 明

binofit

PHAT= binofit(X, N)

[PHAT, PCI] = binofit(X,N)

[PHAT, PCI]= binofit (X, N, ALPHA)

二项分布的概率的最大似然估计

置信度为95%的参数估计和置信区间

返回水平α的参数估计和置信区间

poissfit

Lambdahat=poissfit(X)

[Lambdahat, Lambdaci] = poissfit(X)

[Lambdahat, Lambdaci]= poissfit (X, ALPHA)

泊松分布的参数的最大似然估计

置信度为95%的参数估计和置信区间

返回水平α的λ参数和置信区间

normfit

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X)

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X, ALPHA)

正态分布的最大似然估计,置信度为95%

返回水平α的期望,方差值和置信区间

betafit

PHAT =betafit (X)

[PHAT, PCI]= betafit (X, ALPHA)

返回β分布参数a和 b的最大似然估计

返回最大似然估计值和水平α的置信区间

unifit

[ahat,bhat] = unifit(X)

[ahat,bhat,ACI,BCI] = unifit(X)

[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(X, ALPHA)

均匀分布参数的最大似然估计

置信度为95%的参数估计和置信区间

返回水平α的参数估计和置信区间

expfit

muhat =expfit(X)

[muhat,muci] = expfit(X)

[muhat,muci] = expfit(X,alpha)

指数分布参数的最大似然估计

置信度为95%的参数估计和置信区间

返回水平α的参数估计和置信区间

gamfit

phat =gamfit(X)

[phat,pci] = gamfit(X)

[phat,pci] = gamfit(X,alpha)

γ分布参数的最大似然估计

置信度为95%的参数估计和置信区间

返回最大似然估计值和水平α的置信区间

weibfit

phat = weibfit(X)

[phat,pci] = weibfit(X)

[phat,pci] = weibfit(X,alpha)

韦伯分布参数的最大似然估计

置信度为95%的参数估计和置信区间

返回水平α的参数估计及其区间估计

Mle

phat = mle('dist',data)

[phat,pci] = mle('dist',data)

[phat,pci] = mle('dist',data,alpha)

[phat,pci] = mle('dist',data,alpha,p1)

分布函数名为dist的最大似然估计

置信度为95%的参数估计和置信区间

返回水平α的最大似然估计值和置信区间

仅用于二项分布,pl为试验总次数

说明各函数返回已给数据向量X的参数最大似然估计值和置信度为(1-α)×100%的置信区间.α的默认值为0.05,即置信度为95%.

4.7.2 非线性模型置信区间预测

命令 高斯—牛顿法的非线性最小二乘数据拟合

函数 nlinfit

格式 beta = nlinfit(X,y,FUN,beta0)
%返回在FUN中描述的非线性函数的系数.FUN为用户提供形如的函数,该函数返回已给初始参数估计值β和自变量X的y的预测值.

[beta,r,J] = nlinfit(X,y,FUN,beta0)
�ta为拟合系数,r为残差,J为Jacobi矩阵,beta0为初始预测值.

说明 若X为矩阵,则X的每一列为自变量的取值,y是一个相应的列向量.如果FUN中使用了@,则表示函数的柄.

例4-65 调用MATLAB提供的数据文件reaction.mat

>>load reaction

>>betafit = nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta)

betafit =

1.2526

0.0628

0.0400

0.1124

1.1914

命令 非线性模型的参数估计的置信区间

函数 nlparci

格式 ci = nlparci(beta,r,J)
%返回置信度为95%的置信区间,beta为非线性最小二乘法估计的参数值,r为残差,J为Jacobian矩阵.nlparci可以用nlinfit函数的输出作为其输入.

例4-66 调用MATLAB中的数据reaction.

>>load reaction

>>[beta,resids,J] =
nlinfit(reactants,rate,'hougen',beta)

beta =

1.2526

0.0628

0.0400

0.1124

1.1914

resids =

0.1321

-0.1642

-0.0909

0.0310

0.1142

0.0498

-0.0262

0.3115

-0.0292

0.1096

0.0716

-0.1501

-0.3026

J =

6.8739 -90.6536 -57.8640 -1.9288 0.1614

3.4454 -48.5357 -13.6240 -1.7030 0.3034

5.3563 -41.2099 -26.3042 -10.5217 1.5095

1.6950 0.1091 0.0186 0.0279 1.7913

2.2967 -35.5658 -6.0537 -0.7567 0.2023

11.8670 -89.5655 -170.1745 -8.9566 0.4400

4.4973 -14.4262 -11.5409 -9.3770 2.5744

4.1831 -41.7896 -16.8937 -5.7794 1.0082

11.8286 -51.3721 -154.1164 -27.7410 1.5001

9.1514 -25.5948 -76.7844 -30.7138 2.5790

3.3373 0.0900 0.0720 0.1080 3.5269

9.3663 -102.0611 -107.4327 -3.5811 0.2200

4.7512 -24.4631 -16.3087 -10.3002 2.1141

>>ci = nlparci(beta,resids,J)

ci =

-0.7467 3.2519

-0.0377 0.1632

-0.0312 0.1113

-0.0609 0.2857

-0.7381 3.1208

命令 非线性拟合和显示交互图形

函数 nlintool

格式 nlintool(x,y,FUN,beta0)
%返回数据(x,y)的非线性曲线的预测图形,它用2条红色曲线预测全局置信区间.beta0为参数的初始预测值,置信度为95%.

nlintool(x,y,FUN,beta0,alpha) %置信度为(1-alpha)×100%

例4-67 调用MATLAB数据

>> load reaction

>> nlintool(reactants,rate,'hougen',beta)

图4-20

命令 非线性模型置信区间预测

函数 nlpredci

格式 ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J) % ypred
为预测值,FUN与前面相同,beta为给出的适当参数,r为残差,J为Jacobian矩阵,inputs为非线性函数中的独立变量的矩阵值.

[ypred,delta] = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J)
�lta为非线性最小二乘法估计的置信区间长度的一半,当r长度超过beta的长度并且J的列满秩时,置信区间的计算是有效的.[ypred-delta,ypred+delta]为置信度为95%的不同步置信区间.

ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J,alpha,'simopt','predopt')
%控制置信区间的类型,置信度为100(1-alpha)%.'simopt' = 'on' 或'off'
(默认值)分别表示同步或不同步置信区间.'predopt'='curve' (默认值) 表示输入函数值的置信区间,
'predopt'='observation'
表示新响应值的置信区间.nlpredci可以用nlinfit函数的输出作为其输入.

例4-68 续前例,在[100 300 80]处的预测函数值ypred和置信区间一半宽度delta

>> load reaction

>> [beta,resids,J] =
nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta);

>> [ypred,delta] = nlpredci(@hougen,[100 300
80],beta,resids,J)

结果为:

ypred =

10.9113

delta =

0.3195

命令 非负最小二乘

函数 nnls(该函数已被函数lsnonneg代替,在6.0版中使用nnls将产生警告信息)

格式 x = nnls(A,b)
%最小二乘法判断方程A×x=b的解,返回在x≥0的条件下使得最小的向量x,其中A和b必须为实矩阵或向量.

x = nnls(A,b,tol) % tol为指定的误差

[x,w] = nnls(A,b) %当x中元素时,,当时.

[x,w] = nnls(A,b,tol)

例4- 69

>> A =[0.0372 0.2869;0.6861 0.7071;0.6233 0.6245;0.6344
0.6170];

>> b=[0.8587 0.1781 0.0747 0.8405]';

>> x=nnls(A,b)

Warning: NNLS is obsolete and has been replaced by LSQNONNEG.

NNLS now calls LSQNONNEG which uses the following syntax:

[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]

=lsqnonneg(A,b,X0, Options) ;

Use OPTIMSET to define optimization options, or type

'edit nnls' to view the code used here. NNLS will be

removed in the future; please use NNLS with the new syntax.

x =

0

0.6929

命令 有非负限制的最小二乘

函数 lsqnonneg

格式 x = lsqnonneg(C,d) %返回在x≥0的条件下使得最小的向量x,其中C和d必须为实矩阵或向量.

x = lsqnonneg(C,d,x0) % x0为初始点,x0≥0

x = lsqnonneg(C,d,x0,options) %options为指定的优化参数,参见options函数.

[x,resnorm] = lsqnonneg(…) %resnorm表示norm(C*x-d).^2的残差

[x,resnorm,residual]
a90a
= lsqnonneg(…) %residual表示C*x-d的残差

例4- 70

>> A =[0.0372 0.2869;0.6861 0.7071;0.6233 0.6245;0.6344
0.6170];

>> b=[0.8587 0.1781 0.0747 0.8405]';

>> [x,resnorm,residual] = lsqnonneg(A,b)

x =

0

0.6929

resnorm =

0.8315

residual =

0.6599

-0.3119

-0.3580

0.4130

4.7.3 对数似然函数

命令 负分布的对数似然函数

函数 Betalike

格式 logL=betalike(params,data) %返回负分布的对数似然函数,params为向量[a,
b],是分布的参数,data为样本数据.

[logL,info]=betalike(params,data) %返回Fisher逆信息矩阵info.如果params
中输入的参数是极大似然估计值,那么info的对角元素为相应参数的渐近方差.

说明
betalike是分布最大似然估计的实用函数.似然函数假设数据样本中,所有的元素相互独立.因为betalike返回负对数似然函数,用fmins函数最小化betalike与最大似然估计的功能是相同的.

例4-71 本例所取的数据是随机产生的分布数据.

>>r = betarnd(3,3,100,1);

>>[logL,info] = betalike([2.1234,3.4567],r)

logL =

-12.4340

info =

0.1185 0.1364

0.1364 0.2061

命令 负分布的对数似然估计

函数 Gamlike

格式 logL=gamlike(params,data)
%返回由给定样本数据data确定的分布的参数为params(即[a,b])的负对数似然函数值

[logL,info]=gamlike(params,data)
%返回Fisher逆信息矩阵info.如果params中输入的参数是极大似然估计值,那么info的对角元素为相应参数的渐近方差.

说明
gamlike是分布的最大似然估计函数.因为gamlike返回对数似然函数值,故用fmins函数将gamlike最小化后,其结果与最大似然估计是相同的.

例4-72

>>r=gamrnd(2,3,100,1);

>>[logL,info]=gamlike([2.4212, 2.5320],r)

logL =

275.4602

info =

0.0453 -0.0538

-0.0538 0.0867

命令 负正态分布的对数似然函数

函数 normlike

格式 logL=normlike(params,data)
%返回由给定样本数据data确定的,负正态分布的,参数为params(即[mu,sigma])的对数似然函数值.

[logL,info]=normlike(params,data)
%返回Fisher逆信息矩阵info.如果params中输入的参数是极大似然估计值,那么info的对角元素为相应参数的渐近方差.

命令 威布尔分布的对数似然函数

函数 Weiblike

格式 logL = weiblike(params,data)
%返回由给定样本数据data确定的,威布尔分布的,参数为params(即[a,b])的对数似然函数值.

[logL,info]=weiblike(params,data)
%返回Fisher逆信息矩阵info.如果params中输入的参数是极大似然估计值,那么info的对角元素为相应参数的渐近方差.

说明 威布尔分布的负对数似然函数定义为

例4-73

>>r=weibrnd(0.4,0.98,100,1);

>>[logL,info]=weiblike([0.1342,0.9876],r)

logL =

237.6682

info =

0.0004 -0.0002

-0.0002 0.0078