最长单调递增子序列

问题描述：

求一个正整数序列的最长单调自增子序列，子序列不要求是连续的。例如

Input：5

5 2 4 3 1

Output：2

(1) 算法复杂度是O(N*N)

f[i]是以a[i]为最大值的子序列，那么f[]的最大值就是要的结果。

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int f[],a[];

f[0] = 1;

for(i = 1 ; i < n ; i++ )

{

　　f[i] = 1;

　　for(j = 0 ; j < i ; j++)

　　{

　　　　If(a[j] < a[i] && f[j]+1 > f[i])//等号有没有要视题目而定

　　　　{

　　　　　　f[i] = f[j] +1;

　　　　}

　　}

}

很显然实践复杂度是O(N*N)，那么有没有更快的算法呢？按照正常的思路更快的复杂度应该就是O(N*logN)，那么就要涉及到二分了。

(2)算法复杂度是O(N*logN)

     对于序列Sn，考虑其长度为i的单调子列(1<=i<=m)，多宝这样的子列可能有多个。我们选取这些子列的结尾元素（子列的最后一个元素）的最小值。用Li表示。那么：

L1<=L2<=…<=Lm

    因为：如果Li>Lj(i<j)，那么去掉以Lj结尾的递增子序列的最后j-i个元素，得到一个长度为i的子序列，该序列的结尾元素ak<=Lj<Li，这与Li标识了长度为i的递增子序列的最小结尾元素相矛盾，于是证明了上述结论。（注：之前要使L保存这些序列的最小值就是为了使此公式成立，即L有序。只有L有序我们才能方便的利用二分查找法创建L）。

     现在，我们来寻找Sn对应的L序列，如果我们找到的最大的Li是Lm，那么m就是最大单调子列的长度。下面的方法可以用来创建和维护L。

 　　

从左至右扫描Sn，对于每一个ai，它可能

(1)    ai<L1，那么L1=ai

(2)    ai>=Lm，那么Lm+1=ai，m=m+1 (其中m是当前见到的最大的L下标)

(3)    ai<Lm，则找到s，使得Ls<=ai<Ls+1，那么Ls+1=ai

 　　

    扫描完成后，我们也就得到了最长递增子序列的长度。从上述方法可知，对于每一个元素，我们需要对L进行查找操作，由于L有序，所以使用二分查找这个操作为logn，于是总的复杂度为O(nlogn)。优于开始O(n2)的算法。这里给出我的一个实现：（算法并没有返回具体的序列，只是返回长度）

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int find(int *a,int len,int n)//二分find

{

　　int left=0,right=len,mid=(left+right)/2;

　　while(left<=right)

　　{

　　　　if(n>a[mid]) left=mid+1;

　　　　else if(n<a[mid]) right=mid-1;

　　　　else return mid;

　　　　mid=(left+right)/2;

　　}

　　return left;//注：这里查找不到时要返回left，因为结束时left指向较大值。

}

　　　　L[0]=-1;//要懂得用这种天然的最小值

　　　　L[1]=a[0];//初始化

　　　for(i=1;i<n;i++)//复杂度是N的

　　　　{

　　　　　　j=find(L,n+1,a[i]);//找到第三步中的s+1

　　　　　　L[j]=a[i];

　　　　}