【Leetcode】Unique Binary Search Trees

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,

Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

依然是递归编程。一般在用到递归技巧时候都可以使用动态DP(动态规划）进行优化。

下面两种解决方法分别用到了递归和DP。

方法一、

假设1....n中的第i个值为根节点，则1....i-1构成左子树，i+1构成有右子树。以i为根节点的树的个数为（左子树的个数）*（右子树的个数）。

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        
        return numTrees(1,n);
    }
    
    int numTrees(int start,int end)
    {
        int total=0;
        
        if(start>=end)
        {
            return 1;
        }
        
        for(int i=start;i<=end;i++)
        {
            total+=numTrees(start,i-1)*numTrees(i+1,end);
        }
        
        return total;
    }
};

方法二（DP优化）、

class Solution {
public:
    /*
* 依次枚举出所有节点作为根节点，根据BST的性质，根节点左边的节点组成的左子树就成为了一个子问题
* ，右子树同样；所以这是一个DP问题。
* 按照DP问题的一般解法，使用顺序数组numSeqs来存储中间结果，自底向上
* 求出所有中间值来即可
* 需要注意的是，
* 1、左右子树如果都不为空，那么tempSum应该用乘法原则；
* 2、如果有一颗子树不为空，那么tempSum应该用加法；
* 3、如果根节点即是叶子节点，那么只有1棵树，tempSum加1即可。
* */
    int numTrees(int n) {
        // IMPORTANT: Please reset any member data you declared, as
        // the same Solution instance will be reused for each test case.
        //用来存储所有的n对应的numTrees值
        vector<int> numSeqs(n+1, 0);
        numSeqs[0]=0, numSeqs[1]=1;
        if(n < 2)	return numSeqs
;
        int tempSum = 0;
        int leftNodes, rightNodes;
        //从2到n自底向上依次计算到numSeqs(n)
        for(int i = 2; i <= n; i++)
        {
         tempSum = 0;
         //对于任意的numSeq(i)，从1到n依次枚举出所有BST顶点的情况
         for(int rootPos = 1; rootPos <= i; rootPos++)
         {
         //leftNodes是以rootPos为根节点的树的左子树的个数，rightNodes是右子树的个数
         leftNodes = rootPos - 1;
         rightNodes = i - rootPos;
         if(leftNodes && rightNodes)
         tempSum +=numSeqs[rootPos-1] * numSeqs[i-rootPos];
         else if(leftNodes || rightNodes)
         tempSum += numSeqs[rootPos-1] + numSeqs[i-rootPos];
         else
         tempSum += 1;
         }
         numSeqs[i] = tempSum;
        }
        return numSeqs
;
    }
};