整数划分问题

整数划分问题
转自：http://www.cppblog.com/Darren/archive/2009/04/08/79245.html

数 n 的划分是将 n 表示成多个正整数之和的形式

划分可以分为两种情况：

A 划分的多个正整数中，正整数的数量是任意的

这又可以分为划分的正整数中，正整数可以相同与不同两类

1. 划分的多个正整数可以相同, 递推方程可以表示为：

(1) dp
[m]= dp
[m-1]+ dp[n-m][m]

dp
[m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。

则划分数可以分为两种情况:

a. 划分中每个数都小于 m， 相当于每个数不大于 m- 1, 故

划分数为 dp
[m-1].

b. 划分中有一个数为 m. 那就在 n中减去 m , 剩下的就相当

于把 n-m 进行划分， 故划分数为 dp[n-m][m];

(2) dp
[m]= dp
[m+1]+ dp[n-m][m]

dp
[m]表示整数 n 的划分中，每个数不小于 m 的划分数。

同理可证明该式。

2. 划分的多个正整数互不相同，递推方程可以表示为：

(1) dp
[m]= dp
[m-1]+ dp[n-m][m-1]

dp
[m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。

同样划分情况分为两种情况：

a. 划分中每个数都小于 m, 相当于每个数不大于 m- 1,

划分数为 dp
[m-1].

b. 划分中有一个数为 m. 在 n 中减去 m, 剩下相当对

n- m 进行划分，并且每一个数不大于 m- 1，故划分数

为 dp[n-m][m-1]

(2) dp
[m]= dp
[m+1]+ dp[n-m][m]

dp
[m]表示整数 n 的划分中，每个数不小于 m 的划分数。

B 划分的多个正整数中，正整数的数量是固定的

把一个整数 n 无序划分成 k 份互不相同的正整数之和的方法总数。

方程为：

dp
[k]= dp[n-k][k]+ dp[n-1][k-1];

证明方法参考： http://www.mydrs.org/program/html/0369.htm

另一种理解，总方法可以分为两类：

第一类: n 份中不包含 1 的分法，为保证每份都 >= 2，可以先拿出 k 个 1 分

到每一份，然后再把剩下的 n- k 分成 k 份即可，分法有: dp[n-k][k]

第二类: n 份中至少有一份为 1 的分法，可以先那出一个 1 作为单独的1份，剩

下的 n- 1 再分成 k- 1 份即可，分法有：dp[n-1][k-1]