装逼第一弹——Fourier变换的意义（答强哥问）

超精密加工工件表面形貌测量特定剖面的高度曲线

强哥最近问了我一个问题，能不能通俗明了的解释下Fourier变换与Laplace变换的含义。

其实Fourier变换的含义还是相当明确的，而Laplace变换意义却不是那么明确，因为Laplace变换是Fourier变换条件不满足或者说是条件更为苛刻条件下所做的Fourier变换的2.0版。

人们总是习惯把复杂的问题变成多个简单的问题，然后各个击破，最终解决问题，或者把一个陌生的问题变成熟悉的问题。我不由得翻了以前写给高三学生的物理教学笔记中找到类似的话。同样Fourier变换与Laplace变换正是提供了这样的变换思路或者说是变换方法。

几乎所有学过Fourier变换的工科生都知道Fourier变换是用于处理信号的，在时域与频域之间对信号进行变换，然后呢。。。没有然后了

我们所面对的信号大多数情况下是杂乱无章的、毫无规律可言的，在整个时域上都在变动，基本上不可能用一个普通的解析函数f(t)来刻画它，再退一步讲，即使采用合理近似之后，比如不考虑信号曲线上密集突变的尖峰(即曲线平滑或者低通滤波)，还是很难刻画它。

问题是我们想要分析信号的数学性质，获得有价值的信息。但现在貌似遇到了更重要的问题，我们都没法刻画这个信号，这个问题更严重。

我们回头看看遇到这个信号（问题），复杂，无规律，随时间变化，基本上我们不想看到的词都看到了，而正弦信号呢，表达式简单，有规律，周期变化函数。

这时候想必大家都十分清楚Fourier变换的意义了，将复杂无规律时变的信号拆成无数个简单有规律周期变化的正弦信号的和（最简单的线性组合）。这些正弦信号的之间只存在频率、相位和幅值之间存在差异，但无论如何，以中国学生的高中水平都足够熟悉正弦信号这些性质。

再看看傅里叶变换公式：

①傅里叶变换



②傅里叶逆变换



其实我们一点都不用关心这些公式，公式总是很讨厌的东西，要用的时候查查书就行了，因为这些思想和公式的提出都是天才的事情，我们普通人还是干些我们常人能干的事情，能搜到公式（我就是刚从百度百科粘过来这些公式的），会基本运算（作为工科生当然得会积分微分）即可，如果能体会其方法论就更好了。

言归正传，我们来看看这两个公式到底干了什么。先看②式，就是我们刚才所说的将一个复杂的信号拆解成简单的信号的和（拓展成无穷个和的话就应该是积分了，因为积分的来源就是无数项和），注意

是个定积分的值，是个定值，不是变量。②式将这个定值乘了个东西（貌似很复杂的东西）做了无数项求和。嗯，和我们之前的分析的一样，貌似也没那么复杂。

我们提到了一个貌似复杂的东西，仔细看看它有多复杂。这个东西叫

，光看这个本体，还是看不出什么来，得看看它的原型。它又叫欧拉公式：



貌似清晰了一点，Fourier变换是复变函数里的东西，所以这里出现了虚数单位i，更形象点，我们应该把它放到复平面里，最好把Scale因子

也带上一起看：



简单的画一画，这个就是三角函数定义图，夹角为wt,正余弦该夹角就是在这两个轴上的投影，相信大家也能看出来

与

相乘就是将

分解到实轴与虚轴上，实轴与虚轴相互正交的，数学上称作一对正交基（基底）。

正余弦信号之间存在相位的差异，

大小与w有关，对应幅值之间存在差异，w本身的变化自然就是频率的变化了。

最有意思的也是最神奇的其实是基底的选取。正是基底的选取的不同就产生了不同的变换，基底可以不正交，也可以是更高维数的正交基底，就有了Laplace变换，小波变换，余弦变换等等，改天再谈这个问题吧，顺便解释下①式。