hdu 1213 How Many Tables（并查集学习）

题目：

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题意：

有n个朋友，编号为1......n。知道其中一些人相互认识，求最少需要多少桌子。

算法：

并查集算法的模板题。

(来源：LCY-teacher课件)

>>在某个城市里住着n个人，现在给定关于 n个人的m条信息（即某2个人认识）假设所有认识的人一定属于同一个单位，请计算该城市最多有多少单位？
>>如何实现？
>>什么是并查集？
>>英文：Disjoint Set，即“不相交集合”将编号分别为1…N的N个对象划分为不相交集合，在每个集合中，选择其中某个元素代表所在集合。常见两种操作：I.合并两个集合.II.查找某元素属于哪个集合
>>实现方法1：。用编号最小的元素标记所在集合；。定义一个数组set[1..n]
，其中set[i] 表示元素i 所在的集合。

<span style="font-size:14px;">find1(x)
{
return set[x];
}
</span>

<span style="font-size:14px;">Merge1(a,b)
{    i = min(a,b);
j = max(a,b);
for (k=1; k<=N; k++) {
if (set[k] == j)
set[k] = i;
}
}
</span>

对于合并我们必须搜索全部元素，效率太低。

>>考虑用树结构？
>>
n每个集合用一棵“有根树”表示
n定义数组 set[1..n]
nset[i] = i , 则i表示本集合，并是集合对应树的根
nset[i] = j, j<>i, 则 j 是 i 的父节点.
>>代码：

merge2(a, b)
{
if (a<b)
set[b] = a;
else
set[a] = b;
}

find2(x)
{
r = x;
while (set[r] != r)
r = set[r];
return r;
}

最坏情况Θ(N)

>>避免最坏情况：
n方法：将深度小的树合并到深度大的树
n实现：假设两棵树的深度分别为h1和h2, 则合并后的树的高度h是:
nmax(h1,h2), if h1<>h2.
nh1+1, if h1=h2.
n效果：任意顺序的合并操作以后，包含k个节点的树的最大高度不超过

merge3(a,b)
{ if (height(a) == height(b)) {
height(a) = height(a) + 1;
set[b] = a;
} else if (height(a) < height(b))
set[a] = b;
else
set[b] = a;
}

find2(x)
{
r = x;
while (set[r] != r)
r = set[r];
return r;
}

路径压缩：

n思想：每次查找的时候，如果路径较长，则修改信息，以便下次查找的时候速度更快
n步骤:
n第一步，找到根结点
n第二步，修改查找路径上的所有节点，将它们都指向根结点

find3(x)
{
r = x;
while (set[r] <> r) //循环结束，则找到根节点
r = set[r];
i = x;
while (i <> r) //本循环修改查找路径中所有节点
{
j = set[i];
set[i] = r;
i = j;
}
}

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摘抄牛人博客：

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内容：

l 并查集：(union-find sets)

一种简单的用途广泛的集合. 并查集是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作，应用很多，如其求无向图的连通分量个数等。最完美的应用当属：实现Kruskar算法求最小生成树。

l 并查集的精髓（即它的三种操作，结合实现代码模板进行理解）：

1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合

初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身（也可以根据情况而变）。

2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合

查找一个元素所在的集合，其精髓是找到这个元素所在集合的祖先！这个才是并查集判断和合并的最终依据。

判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。

合并两个集合，也是使一个集合的祖先成为另一个集合的祖先，具体见示意图

3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合

合并两个不相交集合操作很简单：

利用Find_Set找到其中两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。如图



l 并查集的优化

1、Find_Set(x)时 路径压缩

寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度，有没有办法减小这个复杂度呢？

答案是肯定的，这就是路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点后，"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了，如下图所示；可见，路径压缩方便了以后的查找。

2、Union(x,y)时 按秩合并

即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。



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模板：

int root[MAXN];//root[x]表示x的父节点

void init()//初始化
{
for(int i=0; i<MAXN; i++)
{
root[i] = i;
}
}

int findset(int x)//不带路径
{
int r = x;
while(r != root[r])
r = root[r];
return r;
}

void mergeset(int x,int y)//集合合并
{
int fx = findset(x);
int fy = findset(y);
if(fx != fy)
{
root[fx] = fy;
}
}

//路径压缩findset
int findset(int x)
{
int t,r = x;
while(x != root[x])
x = root[x];
while(r != root[r])
{
t = root[r];
root[r] = x;
r = t;
}
}

思路：

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

int n,m,a,b,cnt;
int father[1010];

int getfather(int n)
{
while(n != father
)
n = father
;
return n;
}

void Union(int x,int y)
{
int rootx = getfather(x);
int rooty = getfather(y);
if(rootx != rooty)
father[rooty] = rootx;
}

int main()
{
//freopen("input.txt","r",stdin);
int t;
cin>>t;
while(t--)
{
getchar();
cnt = 0;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1; i<=n; i++)
father[i] = i;
for(int i=1; i<=m; i++)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
Union(a,b);
}
for(int i=1; i<=n; i++)
{
if(father[i] == i)
cnt++;
}
printf("%d\n",cnt);
}
return 0;
}