LAZY操作学习-----线段树（算法）成段更新

最近在学习线段树的相关知识，觉得线段树的每个实现都有一种固定的模式：查询，向上收，建树等等，现在我所写的线段树是我自己把网络上写的比较好的整理了一下，希望大家都可以进行学习。下面的大部分知识出现在：

www.douban.com/note/273509745/?type=like

这是原著。

接下来就开始学习线段树：

线段树的LAZY我一边喜欢说成是懒操作，用于成段更新。

介绍Lazy思想：lazy－tag思想，记录每一个线段树节点的变化值，当这部分线段的一致性被破坏我们就将这个变化值传递给子区间，大大增加了线段树的效率。



在此通俗的解释我理解的Lazy意思，比如现在需要对[a,b]区间值进行加c操作，那么就从根节点[1,n]开始调用update函数进行操作，如果刚好执行到一个子节点，它的节点标记为rt，这时tree[rt].l == a && tree[rt].r == b 这时我们可以一步更新此时rt节点的sum[rt]的值，sum[rt] +=
c * (tree[rt].r - tree[rt].l + 1)，注意关键的时刻来了，如果此时按照常规的线段树的update操作，这时候还应该更新rt子节点的sum[]值，而Lazy思想恰恰是暂时不更新rt子节点的sum[]值，到此就return，直到下次需要用到rt子节点的值的时候才去更新，这样避免许多可能无用的操作，从而节省时间 。



例如：给你N个数，Q个操作，操作有两种，‘Q a b ’是询问a~b这段数的和，‘C
a b c’是把a~b这段数都加上c。

下面通过具体的代码来说明之。（此处的函数名和宏学习了小HH的代码风格）



在此先介绍下代码中的函数说明：



#define lson l,m,rt<<1

#define rson m+1,r,rt<<1|1



宏定义左儿子lson和右儿子rson，貌似用宏的速度要慢。



PushUp(rt)：通过当前节点rt把值递归向上更新到根节点



PushDown(rt)：通过当前节点rt递归向下去更新rt子节点的值



rt表示当前子树的根(root),也就是当前所在的结点

long long sum[N<<2],add[N<<2];

struct Node

{

int l,r;

int mid()

{

return (l+r)>>1;

}

} tree[N<<2];

这里定义数据结构sum用来存储每个节点的子节点数值的总和，add用来记录该节点的每个数值应该加多少

tree[].l tree[].r分别表示某个节点的左右区间，这里的区间是闭区间



下面直接来介绍update函数，Lazy操作主要就是用在这里

void update(int c,int l,int r,int rt)
//表示对区间[l,r]内的每个数均加c，rt是根节点

{

if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r)

{

add[rt] += c;

sum[rt] += (__int64)c * (r-l+1);

return;

}

if(tree[rt].l == tree[rt].r) return;

PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);

int m = tree[rt].mid();

if(r <= m) update(c,l,r,rt<<1);

else if(l > m) update(c,l,r,rt<<1|1);

else

{

update(c,l,m,rt<<1);

update(c,m+1,r,rt<<1|1);

}

PushUp(rt);

}

if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r) 这里就是用到Lazy思想的关键时刻 正如上面说提到的，这里首先更新该节点的sum[rt]值，然后更新该节点具体每个数值应该加多少即add[rt]的值，注意此时整个函数就运行完了，直接return，而不是还继续向子节点继续更新，这里就是Lazy思想，暂时不更新子节点的值。



那么什么时候需要更新子节点的值呢？答案是在某部分update操作的时候需要用到那部分没有更新的节点的值的时候，这里可能有点绕口。这时就掉用PushDown()函数更新子节点的数值。

void PushDown(int rt,int m)

{

if(add[rt])

{

add[rt<<1] += add[rt];

add[rt<<1|1] += add[rt];

sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m>>1));

sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m>>1);

add[rt] = 0;//更新后需要还原

}

}

PushDown就是从当前根节点rt向下更新每个子节点的值，这段代码读者可以自己好好理解，这也是Lazy的关键。

接着就是update操作的三个if语句了，这里我曾经一直不理解，多亏nyf队友的指点，借此感谢之。



下面再解释query函数，也就是用这个函数来求区间和

long long query(int l,int r,int rt)

{

if(l == tree[rt].l && r == tree[rt].r)

{

return sum[rt];

}

PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);

int m = tree[rt].mid();

long
long res = 0;

if(r <= m) res += query(l,r,rt<<1);

else if(l > m) res += query(l,r,rt<<1|1);

else

{

res += query(l,m,rt<<1);

res += query(m+1,r,rt<<1|1);

}

return res;

}

第一个if还是区间的判断和前面update的一样，到这里就可以知道答案了，所以就直接return。

接下来的查询就需要用到rt子节点的值了，由于我们用了Lazy操作，这段的数值还没有更新，因此我们需要调用PushDown函数去更新之，满足if(add[rt])就说明还没有更新。



到这里整个Lazy思想就算介绍结束了，可能我的语言组织不是很好，如果有不理解的地方可以给我留言，我再解释大家的疑惑。



PS：今天总算是对线段树入门了。



这里推荐一下，完全版线段树网址



下面贴出POJ3468完整的代码www.notonlysuccess.com/index.php/segment-tree-complete/，这里面有很飘逸的线段树代码，表示其update和query写的很巧妙，代码量也比较少，大家可以去学习。

#include <iostream>

#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 100005;

#define lson l,m,rt<<1

#define rson m+1,r,rt<<1|1

__int64 sum[N<<2],add[N<<2];

struct Node

{

int l,r;

int mid()

{

return (l+r)>>1;

}

} tree[N<<2];

void PushUp(int rt)

{

sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];

}

void PushDown(int rt,int m)

{

if(add[rt])

{

add[rt<<1] += add[rt];

add[rt<<1|1] += add[rt];

sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m>>1));

sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m>>1);

add[rt] = 0;

}

}

void build(int l,int r,int rt)

{

tree[rt].l = l;

tree[rt].r = r;

add[rt] = 0;

if(l == r)

{

scanf("%I64d",&sum[rt]);

return ;

}

int m = tree[rt].mid();

build(lson);

build(rson);

PushUp(rt);

}

void update(int c,int l,int r,int rt)

{

if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r)

{

add[rt] += c;

sum[rt] += (__int64)c * (r-l+1);

return;

}

if(tree[rt].l == tree[rt].r) return;

PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);

int m = tree[rt].mid();

if(r <= m) update(c,l,r,rt<<1);

else if(l > m) update(c,l,r,rt<<1|1);

else

{

update(c,l,m,rt<<1);

update(c,m+1,r,rt<<1|1);

}

PushUp(rt);

}

__int64 query(int l,int r,int rt)

{

if(l == tree[rt].l && r == tree[rt].r)

{

return sum[rt];

}

PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);

int m = tree[rt].mid();

__int64 res = 0;

if(r <= m) res += query(l,r,rt<<1);

else if(l > m) res += query(l,r,rt<<1|1);

else

{

res += query(l,m,rt<<1);

res += query(m+1,r,rt<<1|1);

}

return res;

}

int main()

{

int n,m;

while(~scanf("%d %d",&n,&m))

{

build(1,n,1);

while(m--)

{

char ch[2];

scanf("%s",ch);

int a,b,c;

if(ch[0] == 'Q')

{

scanf("%d %d", &a,&b);

printf("%I64d\n",query(a,b,1));

}

else

{

scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);

update(c,a,b,1);

}

}

}

return 0;

}