次小生成树学习小记 Hdu 4081 Qin Shi Huang's National Road System (模板)

以下学习资料转自 http://blog.csdn.net/Jarily/article/details/8883858 代码根据自己的风格重写了，算是个模板吧。

2014-08-05补充资料

次小生成树问题探讨 - DM张朋飞 - 博客园

算法引入：

设G=(V,E,w)是连通的无向图,T是图G的一棵最小生成树;

如果有另一棵树T1,满足不存在树T’,ω(T’)<ω(T1),则称T1是图G的次小生成树;



算法思想：

邻集的概念:由T进行一次可行交换得到的新的生成树所组成的集合,称为树T的邻集,记为N(T);

设T是图G的最小生成树,如果T1满足ω(T1)=min{ω(T’)|T’∈N(T)},则T1是G的次小生成树;

首先先求该图的最小生成树T,时间复杂度O(Vlog2V+E);

然后,求T的邻集中权值和最小的生成树,即图G 的次小生成树;

如果只是简单的枚举,复杂度很高;

首先枚举两条边的复杂度是O(VE),再判断该交换是否可行的复杂度是O(V),则总的时间复杂度是O(V2E);

分析可知,每加入一条不在树上的边,总能形成一个环,只有删去环上的一条边,才能保证交换后仍然是生成树;

而删去边的权值越大,新得到的生成树的权值和越小,可以以此将复杂度降为O(VE);

更好的方法:首先做一步预处理,求出树上每两个结点之间的路径上的权值最大的边;

然后枚举图中不在树上的边,有了预处理,就可以用O(1)的时间得到形成的环上的权值最大的边;

预处理:因为是一棵树,只要简单的BFS即可,预处理所要的时间复杂度为O(V2);



题意：

有n个城市,秦始皇要修用n-1条路把它们连起来,要求从任一点出发,都可以到达其它的任意点,秦始皇希望这所有n-1条路长度之和最短;

然后徐福突然有冒出来,说是他有魔法,可以不用人力、财力就变出其中任意一条路出来;

秦始皇希望徐福能把要修的n-1条路中最长的那条变出来,但是徐福希望能把要求的人力数量最多的那条变出来;

对于每条路所需要的人力,是指这条路连接的两个城市的人数之和;

秦始皇给出了一个公式A/B,A是指要徐福用魔法变出的那条路所需人力,

B是指除了徐福变出来的那条之外的所有n-2条路径长度之和,选使得A/B值最大的那条;



分析：

为了使的A/B值最大,首先是需要是B尽量要小,所以可先求出n个城市的最小生成树;

然后就是决定要选择哪一条边用徐福的魔法来变;

可以枚举每一条边,假设最小生成树的值是Mst,而枚举的那条边长度是G[i][j],

如果这一条边已经是属于最小生成树上的,那么最终式子的值是A/(Mst-graph[i][j]);

如果这一条不属于最小生成树上的,那么添加上这条边,就会有n条边,那么就会使得有了一个环;

为了使得它还是一个生成树,就要删掉环上的一条边,为了让生成树的权值尽量小,那么就要删掉除了加入的那条边以外,权值最大的那条路径;

假设删除的那个边的权值是path[i][j],那么就是A/(Mst-path[i][j]);

解这题的关键也在于怎样求出次小生成树,具体实现时,更简单的方法是从每个节点i遍历整个最小生成树;

定义path[i][j]为从i到j的路径上最大边的权值,遍历图求出path[i][j]的值;

然后对于添加每条不在最小生成树中的边(i,j),新的生成树权值之和就是Mst+graph[i][j]–path[i][j],其最小值则为次小生成树;

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))

const int INF=0x3fffffff;
const int N=1005;

struct Point
{
	int x,y,p;//坐标,人口
	void Get ()
	{
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&p);
	}
	double Dis (Point b)
	{
		return sqrt( 1.0*(x-b.x)*(x-b.x) + 1.0*(y-b.y)*(y-b.y) );
	}
}data
;

int n,pre
;  ////辅助数组,记录前驱
bool visit
;
bool used

;//边是否在该MST中
double graph

,dist
;
double path

;//从i到j的路径上最大边的权值

double Prim()
{
	int i,j;
	double Mst=0;
	memset(visit,false,sizeof(visit));
	memset(used,false,sizeof(used));
	memset(path,0,sizeof(path));
	visit[1]=true;
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		dist[i]=graph[1][i];
		pre[i]=1;
	}
	for (i=1;i<n;i++)
	{
		int k=-1;
		for (j=1;j<=n;j++) if(visit[j]==false)
			if (k==-1 || dist[j]<dist[k])
				k=j;
		used[k][pre[k]]=used[pre[k]][k] = true;//加入MST
		Mst+=graph[pre[k]][k];
		visit[k]=true;
		for (j=1;j<=n;j++)
		{
			if (visit[j] && j!=k)//求从k到j的路径上最大边的权值
				path[k][j]=path[j][k]=max(path[j][pre[k]], dist[k]);
			if (visit[j]==false && dist[j]>graph[k][j]) //更新相邻顶点的dis
			{
				dist[j]=graph[k][j];
				pre[j]=k;
			}
		}
	}
/*	int ans=INF;  //计算次小生成树
	for (i=1;i<=n;i++)  for (int j=1;j<=n;j++)
		if (i!=j && used[i][j]==false)
			ans=min(ans,Mst+graph[i][j]-path[i][j]);*/
	return Mst;
}

int main ()
{
	int T,i,j;
	scanf("%d",&T);
	while (T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		memset(graph,0,sizeof(graph));
		for (i=1;i<=n;i++)
			data[i].Get();
		for (i=1;i<=n;i++) for (j=i+1;j<=n;j++)
			graph[i][j]=graph[j][i]=data[i].Dis(data[j]);
		double Mst=Prim();
		double ans=-1;
		for (i=1;i<=n;i++) for (j=i+1;j<=n;j++)
		{
			if (used[i][j])
				ans=max(ans,(data[i].p+data[j].p)/(Mst-graph[i][j]));
			else
				ans=max(ans,(data[i].p+data[j].p)/(Mst-path[i][j]));
		}
		printf("%.2f\n",ans);
	}
	return 0;
}