频域图像增强（学习笔记）

一：傅里叶变换

傅里叶变换（英语：Fourier transform）是一种线性的积分变换，常在将信号在时域（或空域）和频域之间变换时使用。

经过傅里叶变换而生成的函数 

 称作原函数 

 的傅里叶变换、亦或其频谱。傅里叶变换是可逆的，即可通过 

 确定其原函数 

。通常情况下，

 是实数函数，而 

 则是复数函数，用一个复数来表示振幅和相位。

傅里叶基数：任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的）。

基本性质：

1  线性性质：两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数

和

的傅里叶变换

和

都存在，

和

为任意常系数，则

；

2  平移性质：若函数

存在傅里叶变换，则对任意实数

，函数

也存在傅里叶变换，且有

。式中花体

是傅里叶变换的作用算子，平体

表示变换的结果（复函数），

为自然对数的底，

为虚数单位

。
3   微分关系：若函数

当

时的极限为0，而其导函数

的傅里叶变换存在，则有

，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子

。更一般地，若

，且

存在，则

，即k阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子

。
4  卷积特性：若函数

及

都在

上绝对可积，则卷积函数

（或者

）的傅里叶变换存在，且

。卷积性质的逆形式为

，即两个函数卷积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的乘积乘以

。

频域（频率域）——自变量是频率，即横轴是频率，纵轴是该频率信号的幅度，也就是通常说的频谱图。频谱图描述了信号的频率结构及频率与该频率信号幅度的关系。如信号强度随时间的变化规律（时域特性），信号是由哪些单一频率的信号合成的（频域特性）

在傅里叶变换中，低频主要决定图像在平滑区域中总体灰度级别的显示，而高频决定图像细节部分，如边缘和噪声。使低频通过而使高频衰减的滤波器为“低通滤波器”。