同态滤波（Homomorphic filtering）

申明：本文非原创，转载自http://www.tofact.com/2011/homomorphic-filtering.html

在生活中会得到这样的图像，它的动态范围很大，而我们感兴趣的部分的灰度又很暗，图像细节没有办法辨认，采用一般的灰度级线性变换法是不行的。图像的同态滤波(Homomorphic filtering)属于图像频率域处理范畴，其作用是对图像灰度范围进行调整，通过消除图像上照明不均的问题，增强暗区的图像细节，同时又不损失亮区的图像细节。

f(x,y)

一般自然景物的图像f(x,y)可由照明(illumination)函数i(x,y)和反射(reflectance)函数r(x,y)的乘积表示。i(x,y)描述景物的照明，与景物无关；r(x,y)包含景物的细节，与照明无关。

f(x,y)=i(x,y)·r(x,y)
0 < i(x,y) < ∞; 0 < r(x,y) < 1 ;

ln

由于i与r函数二者相乘，无法变换到频域再对其分开处理，因此对上式取对数

ln f(x,y) =ln (i(x,y)·r(x,y)) = ln i(x,y) + ln r(x,y)

使在空间域变成相加关系，

Fourier Transform

再对上式取傅里叶变换，

Fln(uv)=FT{ln i(x,y) + ln r(x,y)}=Fi(u,v)+Fr(u,v);

Fi(u,v): 照明函数在空间上变化缓慢，其频谱特性集中在低频段，；

Fr(u,v): 反射函数的频谱集中在高频段（景物本身具有较多的细节和边缘），反射函数描述的景物，反映图像的细节内容，其频率处于高频区域。

H(u,v)

假如图像照明不均，则图像上各部分的平均亮度会有起伏。对应于暗区的图像细节结构就较难分辨，需要消除这种不均匀性。可以压缩照明函数的灰度范围，也就是在频域上削弱照明函数的成分，同时增强反射函数的频谱成分，就可以增加反映图像对比度的反射函数的对比度。结果，使图像上暗区图像细节得以增大，并尽可能大的保持亮区的图像细节。由乘上传递函数H(u,v)——(同态滤波器)，低频段被压缩，而高频段却扩展了。

Gln(u,v)=Fln(u,v)·H(u,v) =Fi(u,v)·H(u,v)+Fr(u,v)·H(u,v)=Gi(u,v)+Gr(u,v);

IFT

求傅里叶反变换，得在对应空间域表达式

IFT{Gln(u,v)}=IFT{Gi(u,v)}+IFT{Gr(u,v)}

exp

g(x,y)=exp{IFT{Gln(u,v)}}

根据不同的图像特性和需要，选用不同的H(u,v)，可得到满意的结果。

总之，细节对比度差，分辨不清的图像用同态滤波器处理后，图像画面亮度比较均匀，细节得以增强。