微积分重点：第十六至十八课

1.关于运动的微分方程

二阶常系数齐次微分方程一般形式 my'' + 2ry'+ ky = 0

方程 dy/dx = ay （指数）

解 y = Ceax

方程 d2y/dx2= -w2y （正弦余弦）

解 y = C coswt + D sinwt

方程 d2y/dx2= 0

解 y= C+Dx

例如弹簧运动 F= ma,其中a是位移的二阶导

二阶微分方程的通解，对应于二次方程根的三种情况

简谐振动

2. 关于增长的微分方程

所有线性方程的解都是由通解和特解组成

逻辑斯蒂方程 dP/dt = cP - sP2

令y = 1/P, 可以化成一个线性方程

捕食-猎物模型

3.六大函数：

积分 原函数 导数

xn+1/n+1 xn nxn-1

-cosx sinx cosx

sinx cosx -sinx

ecx/c ecx c ecx

xlnx-x lnx 1/x

分段函数 冲击函数（δ函数，描述瞬间发生的事情）

六大法则：

导数加减，乘，除，逆函数，复合，洛比达法则

六大定理：

1.微积分基本定理

2.介值定理（要求连续）：最大值最小值之间的任意值都能到达

3.中值定理（要求可导）：速度必定在某点达到中值（平均速度）

4.泰勒定理：知道了某一点的情况，那么我们就可以知道该点附近的情况，不断用导数修正

5.拉格朗日余项定理： 截断n之后的泰勒级数，后面的误差项是n+1阶导数

6.二项式定理：杨辉三角， (1+x)p根据泰勒定理展开，就得到二项式公式