计算几何 二维凸包问题 Andrew算法

凸包：把给定点包围在内部的、面积最小的凸多边形。

Andrew算法是Graham算法的变种，速度更快稳定性也更好。

首先把所有点排序，按照第一关键字x第二关键字y从小到大排序，删除重复点后得到点序列P1...Pn。

1)把P1,P2放入凸包中，凸包中的点使用栈存储

2)从p3开始，当下一个点在凸包当前前进方向（即直线p1p2）左边的时候继续；

3)否则依次删除最近加入凸包的点，直到新点在左边。





如图，新点P18在当前前进方向P10P15的右边（使用叉积判断），因此需要从凸包上删除点P15和P10，让P8的下一个点为P18。重复该过程直到碰到最右边的Pn，求出下凸包即凸包的下轮廓。然后从Pn反过来重复该步骤求出上凸包，合并起来后就是完整的凸包。

该算法扫描为O(n)复杂度，排序O(nlogn)。
C++ code(刘汝佳《算法竞赛入门经典-训练指南》模板)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

const double eps = 1e-8,Pi=3.14159265;

int n;

inline int dcmp(double x)//三态函数
{
	if(fabs(x) < eps)	return 0;
	else return x>0 ? 1 : -1;
}

#define Vector Point
struct Point
{
	double x,y;
	inline Point(double x=0,double y=0):x(x),y(y) {}
}p[10000+5],ch[10000+5];

bool myCmp(Point A, Point B)
{
	if(A.x != B.x)	return A.x < B.x;
	else return A.y < B.y;
} 

Vector operator + (Vector A, Vector B) {return Vector(A.x + B.x, A.y + B.y);}
Vector operator - (Vector A, Vector B) {return Vector(A.x - B.x, A.y - B.y);}
bool operator == (const Vector& A, const Vector& B) {return dcmp(A.x-B.x)==0 && dcmp(A.y-B.y)==0;}

inline double Cross(Vector A, Vector B)//叉积
{
	return A.x * B.y - A.y * B.x;
}

int ConvexHull()
{
	sort(p,p+n,myCmp);
	int m = 0;
	for(int i = 0; i <n; i++)
	{
		while(m > 1 && dcmp(Cross(ch[m-1]-ch[m-2], p[i]-ch[m-2])) <= 0) m--;
		ch[m++] = p[i];
	}
	int k = m;
	for(int i = n-2; i >= 0; i--)
	{
		while(m > k && dcmp(Cross(ch[m-1]-ch[m-2], p[i]-ch[m-2])) <= 0) m--;
		ch[m++] = p[i];
	}
	if(n > 1) m--;
	return m;
}

double Dis(Point A, Point B)
{
	return sqrt((A.x - B.x)*(A.x - B.x) + (A.y - B.y)*(A.y - B.y));
}

int main()
{
	int m;
	cin>>n;
	for(int i = 0; i < n; i++)
	{
		int a,b;
		cin>>a>>b;
		p[i] = Point(a,b);
	}
	m = ConvexHull();
	//计算凸包周长 
	double ans=0.0;
	for(int i = 0; i < m-1; i++)
		ans += Dis(ch[i],ch[i+1]);
	ans += Dis(ch[m-1],ch[0]);
	printf("%.1f",ans);
}

例题：

wikioi1298(click me)
求解二维凸包并计算周长
wikioi3201(click me)
求解二维凸包并计算周长
poj1113(click me)
本题翻译：/article/2151211.html
求解二维凸包并加入一个圆的周长