Median of Two Sorted Arrays 【LeetCode】

Question：

There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively.
Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

Anwser
1：  O(nlogn)

利用排序将两个数组合并成一个数组，然后返回中位数.

class Solution {  

public:  

    double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n) {

        int *a=new int[m+n];

        memcpy(a,A,sizeof(int)*m);

        memcpy(a+m,B,sizeof(int)*n);

        sort(a,a+n+m);

        double median=(double) ((n+m)%2? a[(n+m)>>1]:(a[(n+m-1)>>1]+a[(n+m)>>1])/2.0); 

        delete a;
 

        return median;  

    }  

};  

[b]Anwser
2：  O(log(m+n))
[/b]

将原问题转变成一个寻找第k小数的问题，这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。

首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。

证明可以采用反证法。假之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但实际上，在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2，小于k，这与A[k/2-1]是第（k+1）的数矛盾。当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)

通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：(1)如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；(2)如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；(3)如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个。
代码非常简洁，而且效率也很高。在最好情况下，每次都有k一半的元素被删除，所以算法复杂度为logk，由于求中位数时k为（m+n）/2，所以算法复杂度为log(m+n)。

double findKth(int a[],int m,int b[],int n,int k)  

{  

    //always assume that m is equal or smaller than n  

    if (m > n)  

        return findKth(b,n,a,m,k);  

    if (m == 0)  

        return b[k-1];  

    if (k == 1)  

        return min(a[0],b[0]);  

    //divide k into two parts  

    int pa = min(k/2,m), pb = k-pa;  

    if (a[pa-1] < b[pb-1])  

        return findKth(a+pa,m-pa,b,n,k-pa);  

    else if (a[pa-1]>b[pb-1])  

        return findKth(a,m,b+pb,n-pb,k-pb);  

    else  

        return a[pa-1];  

}  

  

class Solution  

{  

public:  

    double findMedianSortedArrays(int A[],int m,int B[],int n)  

    {  

        int total
= m+n;  

        if (total & 0x1)  

            return findKth(A,m,B,n,total/2+1);  

        else  

            return (findKth(A,m,B,n,total/2)+findKth(A,m,B,n,total/2+1))/2;
 

    }  

};