并查集向量偏移

http://poj.org/problem?id=1182这道食物链题目是并查集的变型，很久以前做的一次是水过的，这次仔细地研究了这“食物链”，无非就是运用向量偏移，从以前节点与节点转化成向量与向量的关系。我们可以把矛盾的产生得益于向量偏移时的结果。

直接引出向量偏移的运用。



下面是POJ一位大牛这样理解的，本人稍有修改。

对于集合里的任意两个元素a,b而言，它们之间必定存在着某种联系，因为并查集中的元素均是有联系的，否则也不会被合并到当前集合中。那么我们就把这2个元素之间的关系量转化为一个偏移量，以食物链的关系而言，不妨假设

a->b 偏移量0时 a和b同类

a->b 偏移量1时 a吃b

a->b 偏移量2时 a被b吃，也就是b吃a

有了这些基础，我们就可以在并查集中完成任意两个元素之间的关系转换了。不妨继续假设，a的当前集合根节点aa，b的当前集合根节点bb，a->b的偏移值为d-1（题中给出的询问已知条件）

(1)如果aa和bb不相同，那么我们把bb合并到aa上，并且更新delta[bb]值（delta表示i的当前集合根节点到i的偏移量）

此时 aa->bb = aa->a + a->b + b->bb，可能这一步就是所谓向量思维模式吧

上式进一步转化为：aa->bb = (3-delta[a]+d-1+delta)%3 = delta[bb]，（模3是保证偏移量取值始终在[0,2]间）

(2)如果aa和bb相同，那么我们就验证a->b之间的偏移量是否与题中给出的d-1一致

此时 a->b = a->aa + aa->b = a->aa + bb->b，

上式进一步转化为：a->b = (3+delta[a]-delta)%3，若一致则为真，否则为假。





以图示表示为：







一般化总结：

并查集的偏移向量属于并查集的变形，只要适用于集合数目较少，或是固定的并查集类型。

比如1182中的食物链只有3个集合，（同类、天敌、食物）。

2492中的只有两个集合。（同类，异类）。

1703中的只有两个帮派。（龙帮、蛇帮）。

在处理此类集合绝对数量少但集合之间关系复杂的并查集，比如（1182，A吃B，B吃C，C吃D，那么A.D是同类。）

状态存储，只需要在新加一个记录偏移量的数组offset [ MAX ] ，如果只有两个状态，可以直接开bool数据类型。

在预处理的时候，加上如下

void makeset ( )

{

int i ;

for ( i = 1 ; i <= n ; ++ i )

{

father [ i ] = i ;

offset[ i ] = 0 ;//新加的

}

}

在查集函数中，

int findset ( int x )

{

int t ;

if ( father [ x ] == x ) return x ;

else t = findset( father [ x ] ) ;

offset [ x ] = ( offset [ x ] + offset [ father [ x ] ] ) % DEPTH ;//DEPTH表示几个状态量

//如果1182中，DEPTH=3；

father [ x ] = t ;

return t ;

}//使用函数递归调用查找父亲在处理上优于循环。

在并集函数中，

void unionset ( int x , int y )

{

int fx , fy ;

fx = findset ( x ) ;

fy = findset ( y ) ;

if ( fx == fy ) return ;

father [ fx ] = fy ;

offset [ fx ] = ( offset [ y ] - offset [ x ] + d +DEPTH ) % DEPTH ;

}//d表示x与y的状态偏移量，如1182中，偏移量可能是食物1，或是天敌2；1703中只有反面就是1。

offset [ x ] = ( offset [ x ] + offset [ father [ x ] ] ) % DEPTH ;

offset [ fx ] = ( offset [ y ] - offset [ x ] + d +DEPTH ) % DEPTH ;

在查集函数中，向量转移方程表示儿子与祖先的偏移量＝(儿子与父亲的偏移量＋父亲和祖先的偏移量)%状态量。（这里的父亲和祖先可能是同一人，但没有关系，因为自己和自己的偏移量为0。）

在并集函数中，由于要将两个原本不相干的集合合并，d表示在两个集合交汇的地方的最深层的偏移量。

offset[y]表示y与y祖先的偏移量，offset[x]便是x与x祖先的偏移量。

加上一个DEPTH是为了防止出现负数，用%会得到意外的结果。