POJ 3613
2014-04-30 18:39
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题意：在无向图中有n条边，现在给出你一个起点S和一个终点E，让你求从S到E经过且仅K条边的最短路径。注意此题中K远大于n，如果K小于n的话直接一边广搜就过了，第一次没注意到这个条件敲了一个BFS，结果WA了。
思路：此题正解应该是矩阵乘法，但是重定义了，区别于线性代数里面的乘法（其实可以看出无论哪种定义，只要能推出矩阵在该定义下满足交换律即可，因为可以用快速幂来加速）。设原图G对应的邻接矩阵为M，则M的k次幂中M[i][j]就表示从i点到j点经过k条边路径的个数！那么只需要重新定义一下矩阵乘法：M[i][j]表示从i点到j点的的最短路径长度，即M[i][j] = min(M[i][j],M[i][k]+M[k][j])(这个就是floyd算法的核心，DP思想)，可以证明该定义满足交换律，因此可以用快速幂，考虑M^2,它表示从i到j经过2条边的最短路径，同理推出M^n表示从i到j经过n条边的最短路径，因此本题得解。关于矩阵乘法的应用是参考2008年国家集训队论文《矩阵乘法在信息学中的应用》（俞华程）中看到的，网上此题解法大都参考该论文，在网上看了别人解释的没怎么看懂，直接看论文去了，发现论文里面讲的很明白也很透彻，但是经过别人转述意思可能就不一样了，其实我也说的不怎么清楚，所以建议直接去看论文。
网盘下载地址：http://yunpan.cn/QNeFIw2wIef4B （访问密码：7b0c）
思路：此题正解应该是矩阵乘法，但是重定义了，区别于线性代数里面的乘法（其实可以看出无论哪种定义，只要能推出矩阵在该定义下满足交换律即可，因为可以用快速幂来加速）。设原图G对应的邻接矩阵为M，则M的k次幂中M[i][j]就表示从i点到j点经过k条边路径的个数！那么只需要重新定义一下矩阵乘法：M[i][j]表示从i点到j点的的最短路径长度，即M[i][j] = min(M[i][j],M[i][k]+M[k][j])(这个就是floyd算法的核心，DP思想)，可以证明该定义满足交换律，因此可以用快速幂，考虑M^2,它表示从i到j经过2条边的最短路径，同理推出M^n表示从i到j经过n条边的最短路径，因此本题得解。关于矩阵乘法的应用是参考2008年国家集训队论文《矩阵乘法在信息学中的应用》（俞华程）中看到的，网上此题解法大都参考该论文，在网上看了别人解释的没怎么看懂，直接看论文去了，发现论文里面讲的很明白也很透彻，但是经过别人转述意思可能就不一样了，其实我也说的不怎么清楚，所以建议直接去看论文。
网盘下载地址：http://yunpan.cn/QNeFIw2wIef4B （访问密码：7b0c）
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAXN 111
using namespace std;
class Matrix{
public:
int m[MAXN][MAXN];
Matrix(){
memset(m, -1, sizeof(m));
}
};
int N = 0;
Matrix mtMul(Matrix A, Matrix B){
Matrix tmp;
for(int i = 0;i < N;i ++)
for(int j = 0;j < N;j ++)
for(int k = 0;k < N;k ++){
if(A.m[i][k] == -1 || B.m[k][j] == -1) continue;
int temp = A.m[i][k] + B.m[k][j];
if(tmp.m[i][j] == -1 || tmp.m[i][j] > temp) tmp.m[i][j] = temp;
}
return tmp;
}
Matrix mtPow(Matrix A, int k){
if(k == 1) return A;
Matrix tmp = mtPow(A, k >> 1);
Matrix res = mtMul(tmp, tmp);
if(k & 1) res = mtMul(res, A);
return res;
}
int main(){
int cnt[1111];
int n, t, s, e;
int u, v, w;
/* freopen("in.c", "r", stdin); */
while(~scanf("%d%d%d%d", &n, &t, &s, &e)){
N = 0;
Matrix G;
memset(cnt, -1, sizeof(cnt));
for(int i = 0;i < t;i ++){
scanf("%d%d%d", &w, &u, &v);
if(cnt[u] == -1) cnt[u] = N++;
if(cnt[v] == -1) cnt[v] = N++;
G.m[cnt[u]][cnt[v]] = w;
G.m[cnt[v]][cnt[u]] = w;
}
Matrix tmp = mtPow(G, n);
printf("%d\n",tmp.m[cnt[s]][cnt[e]]);
}
return 0;
}
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