一个数列问题的解题思路及实现

这道题来自微软编程之美的初赛，由于本人看到这道题时已经完赛，也不知道能否被AC，只是把自己的思路和实现分享出来供大家参考。

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描述

大神同学是一个热爱数字的孩子，她无时无刻不在思考生活与数学的联系。有一天，她发现其实公历的设计是有讲究的。
每4年就会多闰一天，每一百年又会有一年不是闰年，而第四百年又是闰年。这样，这四百年的周期里每一年平均有365又400分之97天。
大神同学将上面的规律简记为100-4+1=97。
大神同学想知道是不是每一个自然数都能按照上面的形式表示出来，具体来说就是，大神同学希望将一个自然数N写成A1 - A2 +
A3 - A4 + …的形式，其中
A1是A2的倍数，A2是A3的倍数，依此类推。另外，大神同学不想让这个问题变得太无聊，她还增加了一些附加条件：
1. 其中Ai ≠ Aj (i
≠ j)，即相邻的两个数前一个至少是后一个的两倍或以上。
2. 数列的长度至少为3，不能超过100（大神同学觉得数列太长一定可以找到答案）。
3. 构造出来的数列中的每一个数不能太大，因此大神同学希望数列中的每一个数都是小于263的正整数。
大神同学思考了一会儿，发现这个问题似乎没有那么简单，现在她求助于你，希望你能帮她解决这个不太简单的问题。

输入

第一行包括一个数T，表示数据的组数。
接下来包含T组数据，每组数据一行，包括一个整数N。

输出

对于每组数据，输出一行“Case X: ”，其中X表示每组数据的编号(从1开始)，后接一个字符串“no solution”表示无解，或者输出一列数{Ai}，相邻两个数之间用空格隔开。如果有多组数列满足要求，输出任意一组。

数据范围

小数据：
1 ≤ T ≤ 10
1 ≤ N ≤ 100

大数据：
1 ≤ T ≤ 1000
1 ≤ N ≤ 1018

样例输入

2
1
97

样例输出

Case 1: no solution
Case 2: 100 4 1

思路：

根据题目要求，我们可以对分解后的数列不断提取公因子，表达成如下形式，

N = (…((k1-1)k2+1)k3-1)…)Ai

那么，A1 = k1*k2…*ki-1*Ai

            A2 = k2*k3…*ki-1*Ai

            ……

            Ai-1 = ki-1*Ai

然后，我们遍历k1…ki-1的可能取值来找出所有符合条件的数列，本题中只要求输出一个即可。

从k1开始遍历，在遍历过程中，计算每一个前缀串的值，然后用这个值来缩小后续遍历的范围。

比如，对于kj，前缀串的取值为Pre =  (…((k1-1)k2+1)k3-1)…)kj-1+(-1)^(j-1)

那么kj的范围为[2，N/pre]。如果N%(Pre*kj+(-1)^j)=0，那么停止该串的遍历，即找到了一个符合条件的数列。

代码实现：

#include <iostream>

using namespace std;

int isFound,ii;
unsigned long long A[100];
unsigned long long k[100];
unsigned long long N;

void prefix(unsigned long long pre,int dep)
{
int tail,i;
if(dep%2==0)
tail = -1;
else
tail = 1;

for(k[dep-2]=2;(k[dep-2]<=((N-tail)/pre))&&(!isFound);k[dep-2]++)
{
pre = pre*k[dep-2] + tail;

if(N%pre==0)
{
isFound = 1;
ii = dep;
A[dep-1] = N/pre;
}
else if(dep<100)
prefix(pre,dep+1);
else 
break;
if(isFound)
break;
}
}

int main()
{
int T,count,i;

cin>>T;
    count = 0;
while(T--)
{
cin>>N;
for(i=0;i<100;i++)
{
k[i] = 0;
A[i] = 0;
}
isFound = 0;
ii = 0;
for(k[0]=2;k[0]<=(N+1)/2;k[0]++)
{
prefix(k[0]-1,3);
if(isFound)
break;
}
count++;
cout<<"Case "<<count<<": ";

if(isFound)
{
for(i=ii-2;i>=0;i--)
{
A[i] = A[i+1]*k[i];
}
for(i=0;i<ii-1;i++)
{
cout<<A[i]<<" ";
}
cout<<A[ii-1]<<endl;
}
else
{
cout<<"no solution"<<endl;
}
}

return 0;
}