Cracking the coding interview--Q20.12

题目

原文：

Given an NxN matrix of positive and negative integers, write code to find the submatrix with the largest possible sum.

译文：

给一个NxN的整数（每个格是正数、负数或零）矩阵，写代码找出具有最大和的子矩阵。

解答

分析如下（转自：hawstein）

暴力法，时间复杂度O(n6 )

最简单粗暴的方法就是枚举所有的子矩阵，求和，然后找出最大值。 枚举子矩阵一共有C(n, 2)*C(n, 2)个(水平方向选两条边，垂直方向选两条边)， 时间复杂度O(n4 )，求子矩阵中元素的和需要O(n2 )的时间。
因此总的时间复杂度为O(n6 )。

部分和预处理，时间复杂度降到O(n4 )

上面的方法需要O(n2 )去计算子矩阵中元素的和。 这一部分我们可以在预处理的时候求出部分和，在使用的时候就只需要O(1) 的时间来得到子矩阵中元素的和。



我们用一个二维数组p来保存矩阵的部分和，p[i][j]表示左上角是(1, 1)，(下标从1开始)， 右下角是(i, j)的矩阵中元素的和。这样一来，如果我们要求矩阵(x1, x2, y1, y2) 中元素的和(即上图矩阵D)，我们可以通过以下式子计算得出：

sum(D) = p[y2][x2] - p[y2][x1-1] - p[y1-1][x2] + p[y1-1][x1-1]

只需要O(1)的时间。

部分和p[i][j]要怎么计算呢？我们可以通过更小的部分和来计算得到它：

p[i][j] = p[i-1][j] + p[i][j-1] - p[i-1][j-1] + A[i][j]

其中A[i][j]是格子(i, j)中的整数。我们只需要O(n2 ) 的时间即可预处理得到所有的部分和。

降维，O(n3 )的解法
如果有一个一维的数组，我们要求它子数组之和的最大值，最好的时间复杂度是O(n)。 既然如此，我们可以把二维数组一个方向的数累加起来，将它变为一维数组，
然后就转化成了求一维数组子数组之和的最大值。看示意图：

第k列 第l列
第i行：...   ...     ...     ...
...   ...     ...     ...
第j行：...   ...     ...     ...

在同一列中，我们把第i行到第j行的数加起来，得到如下：

第k列 第l列
只剩下一行：...   ...     ...     ...

这时候我们可以用O(n)的时候算出子数组之和的最大值，假设是第k个元素到第l 个元素的子数组。那么它实际上就对应二维数组中第i，j行，第k，l 列组成的子矩阵的元素和。

枚举i，j行需要O(n2 )的时间，求一维情况的子数组最大和需要O(n)的时间， 所以总的时间复杂度为O(n3 )。其中求第k列元素中，
第i行到第j行的元素和可以用部分和求解，仅需要O(1)的时间：

sum(i,j,k) = p[j][k] - p[j][k-1] - p[i-1][k] + p[i-1][k-1]

代码如下：（ctci）

public static int getMaxMatrix(int[][] original) {
int maxArea = Integer.MIN_VALUE; // Important! Max could be < 0
int rowCount = original.length;
int columnCount = original[0].length;
int[][] matrix = precomputeMatrix(original);
for (int row1 = 0; row1 < rowCount; row1++) {
for (int row2 = row1; row2 < rowCount; row2++) {
for (int col1 = 0; col1 < columnCount; col1++) {
for (int col2 = col1; col2 < columnCount; col2++) {
maxArea = Math.max(maxArea, computeSum(matrix,row1, row2, col1, col2));
}
}
}
}
return maxArea;
}
private static int[][] precomputeMatrix(int[][] matrix) {
int[][] sumMatrix = new int[matrix.length][matrix[0].length];
for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
for (int j = 0; j < matrix.length; j++) {
if (i == 0 && j == 0) { // first cell
sumMatrix[i][j] = matrix[i][j];
} else if (j == 0) { // cell in first column
sumMatrix[i][j] = sumMatrix[i - 1][j] + matrix[i][j];
} else if (i == 0) { // cell in first row
sumMatrix[i][j] = sumMatrix[i][j - 1] + matrix[i][j];
} else {
sumMatrix[i][j] = sumMatrix[i - 1][j] +
sumMatrix[i][j - 1] - sumMatrix[i - 1][j - 1] + matrix[i][j];
}
}
}
return sumMatrix;
}

private static int computeSum(int[][] sumMatrix, int i1, int i2, int j1, int j2) {
if (i1 == 0 && j1 == 0) { // starts at row 0, column 0
return sumMatrix[i2][j2];
} else if (i1 == 0) { // start at row 0
return sumMatrix[i2][j2] - sumMatrix[i2][j1 - 1];
} else if (j1 == 0) { // start at column 0
return sumMatrix[i2][j2] - sumMatrix[i1 - 1][j2];
} else {
return sumMatrix[i2][j2] - sumMatrix[i2][j1 - 1] - sumMatrix[i1 - 1][j2] + sumMatrix[i1 - 1][j1 - 1];
}
}

---EOF---